《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第27讲 卫星（天体）追及相遇模型（解析版）

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第 27 讲 卫星（天体）追及相遇模型
（全国高考）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某
地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014
年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11 日土星冲日；8月29 日
海王星冲日；10 月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则
下列判断正确的是
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径
（AU）
1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在 2015 年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
答案：BD
解析：考察角追及和万有引力定律。
由引力提供向心力可知
GMm
r2=mr ω2
相邻两次冲日的时间间隔
t=2π
ωD−ωX
其中
ωD
表示的是地球的公转角速度，
ωX
表示的是行星的公转角速度。将第一式中的结果代入到
第二式中有
t=2π
√
GM
rD
3−
√
GM
rX
3
设行星的半径是地球半径的 k倍，则上式可化为
t=2π
√
GM
rD
3−
√
GM
k3rD
3
=Y
1−1
√
k3
=Y⋅
√
k3
√
k3−1
上式中
Y=2π
√
GM
rD
3
，也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。
对于火星 k=1.5，
对于木星 k=5.2，
t=
√
5 .23
√
5 . 23−1
Y≈5. 2×2 . 3
5 .2×2. 3−1Y=1 . 09Y
至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是 1年，但又大于 1年，因为只有
k→∞
时才恰恰为
一年。
一.知识回顾
如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，
a
卫星的角速
度为
ωa
，
b
卫星的角速度为
ωb
，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图
甲所示，则当它们转过的角度之差 Δ
θ
＝π，即满足
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝π 时，两卫星第一次相距最
远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝(2
n
＋1)π(
n
＝0,1,2,3…)，相距最
近的条件是
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝2
n
π(
n
＝0,1,2,3…)。
二.例题精析
例1．如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是
T1、T2（T1＜T2），且某时刻两卫星相距最近。问：
（1）两卫星再次相距最近的时间是多少？
（2）两卫星相距最远的时间是多少？
【解答】解：（1）依题意，T1＜T2，根据开普勒第三定律可知，
a3
T2=¿
k，周期大的轨道半径大，
故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长。
设经过△t两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△θ＝2π，
2π
T1
t
−2π
T2
t＝2π
解得 t
¿T1T2
T2−T 1
。
（2）两卫星相距最远时，它们运行的角度之差
△θ＝（2k+1）π （k＝0，1，2，…）
即
2π
T1
t
−2π
T2
t＝（2k+1）π （k＝0，1，2，…）
解得 t
¿(2k+1)T1T2
2(T2−T 1)
（k＝0，1，2…）。
答：（1）两卫星再次相距最近的时间是
T1T2
T2−T 1
。
（2）两卫星相距最远的时间是
(2k+1)T1T2
2(T2− T1)
（k＝0，1，2…）。
（多选）例 2．2020 年6月23 日，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升
空，中国终于有了自己的卫星导航系统，未来将向全世界开放，也会成为 70 多亿人生活的一部
分。北斗卫星导航系统有 55 颗卫星，若其中在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫
星甲和乙，它们运行的周期分别是 2小时、16 小时，且某时刻两卫星相距最近。则下列说法中
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