《2023届浙江省高三物理高考复习101微专题模型精讲精练》第38讲 功与能综合（解析版）

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第 38 讲功与能综合
1．（2021·甲卷）如图，一倾角为 θ的光滑斜面上有 50 个减速带（图中未完全画出），相邻减速带
间的距离均为 d，减速带的宽度远小于 d；一质量为 m的无动力小车（可视为质点）从距第一个
减速带 L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察
发现，小车通过第 30 个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第 50 个减速带
后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离 s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因
数为 μ，重力加速度大小为 g。
（1）求小车通过第 30 个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前 30 个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前 30 个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，
则L应满足什么条件？
【解答】解：（1）小车通过第 30 个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同，则小车与减
速带碰撞过程中机械能的损失恰好等于经过距离 d时增加的动能，即△E＝△Ek；
小车通过第 30 个减速带后，每经过 d的过程中，根据动能定理可得：△Ek＝mgdsinθ
所以有：△E＝mgdsinθ；
（2）设小车通过第 30 个减速带后，每次与减速带碰撞后的动能为 Ek，小车与第 50 个减速带碰
撞后在水平面上继续滑行距离 s后停下，在此过程中根据动能定理可得：﹣μmgs＝0 E﹣k，
解得：Ek＝μmgs
小车从开始运动到与第 30 个减速带碰撞后的过程中，根据功能关系可得损失的总能量为：△ E1
＝mg（L+29d）sinθE﹣k，
小车通过前 30 个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能为：
△E=△E1
30
解得：
△E=1
30 mg(L+29 d)sinθ− 1
30 μmgs
；
（3）若小车在前 30 个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，
则有：
△E＞
mgdsinθ
解得：L＞d
+μs
sinθ
。
答：（1）小车通过第 30 个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能为 mgdsinθ；
（2）小车通过前 30 个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能为
1
30 mg(L+29 d)sinθ− 1
30 μmgs
；
（3）若小车在前 30 个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，
则L＞d
+μs
sinθ
。
一.知识回顾
1.多过程运动特点：
由三个及三个以上的运动过程组成的复杂运动。
2.解题理论
（1）动力学：涉及到时间、加速度等物理量，可能用到运动学公式和牛顿定律。
（2）动能定理：涉及到变力做功、曲线运动、非匀变速运动等运动过程，可能用到动能定理。
（3）功能关系：
涉及到不同形式能量之间关系或功与能之间关系，可能用到功能关系或能量守恒定律。
3.解题技巧：
（1）仔细审题，弄清有哪几个运动过程，并画简图示意。
（2）对各运动过程要进行受力与运动特点、做功与能量变化分析。
（3）边审题，边提取已知信息或隐含信息，对每个运动过程，列出可能的方程式。
（4）一般要有探索过程，不要企图一步到位，最后根据需要，列出必要的方程或方程组。
4.注意事项
（1）一个方程不能解决问题，就多设内个未知量，列方程组求解。
（2）列方程式时依据要明确，概念要清楚：
如运用动能定理，就涉及到功与动能的关系，不要弹性势能、重力势能列在式中；如运用机械
能与系统外力和非保守力做关系时，重力做功或弹簧弹力做功就不要列在式中；如运用能量守恒定
律列式，只是寻找能量之间的关系，不要把功写在式中。
二.例题精析
例1．如图，一轻弹簧原长为 2R，其一端固定在倾角为 37°的固定直轨道 AC 的底端 A处，另一端
位于直轨道上 B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为 R的光滑圆弧轨道相切于 C点，AC
＝7R，A、B、C、D均在同一竖直面内。质量为 m的小物块 P自C点由静止开始下滑，最低到
达E点（未画出），随后 P沿轨道被弹回，最高点到达 F点，AF＝4R，已知 P与直轨道间的动
摩擦因数 μ＝0.25，重力加速度大小为 g。（取 sin37°
¿3
5
，cos37°
）
（1）求 P第一次运动到 B点时速度的大小；
（2）求 P运动到 E点时弹簧的弹性势能；
（3）改变物块 P的质量为
1
3
m，将 P推至 E点，从静止开始释放，P自圆弧轨道的最高点 D处水
平飞出，求物块在 D点处离开轨道前对轨道的压力。
【解答】解：（1）根据题意知，B、C之间的距离 L为：L＝7R 2R﹣＝5R
设P第一次运动到 B点时速度的大小为 vB，P从C到B的过程中，重力和斜面的摩擦力对 P做
功，由动能定理得：
mg•Lsin37°﹣μmgLcos37°
¿1
2m vB
2−
0
代入数据解得：vB＝2
√
gR
（2）设 BE＝x，P到达 E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为 Ep，P由B点运动到 E点的
过程中，由动能定理得：
mgxsin37°﹣μmgxcos37° E﹣p＝0
−1
2m v B
2
E、F之间的距离为：L1＝4R 2R+x﹣＝2R+x
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