专题74 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题（解析版）-2013高考一轮复习知识点精讲和最新高考题模拟题同步训练

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2023 高考一轮知识点精讲和最新高考题模拟题同步训练
第十三章 磁场
专题 74 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
第一部分 知识点精讲
1.　带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
分析思路和方法
两种
思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形
式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界
值
两种方法
物理方法
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用
矢量图求极值
数学方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)
用不等式的性质求极值；(4)图象法等
从关键词找
突破口
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱
离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘
其隐藏的规律，找出临界条件
2. 解决带电粒子圆周运动临界问题的技巧方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用
“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
(2)临界问题的一般解题流程
　
3. “动态圆”模型在电磁学中的应用
（1）、“放缩圆”模型的应用
适
用条件
速度方向
一定，大
小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度
的变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度 v越大，运动
半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨
迹的圆心在垂直初速度方向的直线 PP′上
界定方法
以入射点 P为定点，圆心位于 PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探
索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
（2）、“旋转圆”模型的应用
适
用方法
速度大小
一定，方
向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度
为v0，则圆周运动半径为 R＝，如图所示
轨迹圆圆
心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点 P为圆
心、半径 R＝的圆上
界定方法
将一半径为 R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，
这种方法称为“旋转圆”法
4. 突破“磁发散”和“磁汇聚”两大难点
在圆形边界的匀强磁场中，若带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域的半
径，则有如下两个重要结论：
磁发散 磁汇聚
　　当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向 当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意
进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方
向一定平行，而且与入射点的切线方向平
行。如图甲所示，此种情境称为“磁发
散”。
位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点
离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平
行。如图乙所示，此种情境称为“磁汇
聚”。
第二部分 最新高考题精选
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，为半圆，ac、bd 与直径 ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质
量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子，在纸面内从 c点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种
速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)
A． B．
C． D．
【参考答案】C　
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心
力有 qvB＝m，解得 r＝，运动时间 t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，
粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直 ac 射入磁场，则轨
迹圆圆心必在直线 ac 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当 r≤0.5R(R为的半径)和
r≥1.5R时，粒子从 ac、bd 区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当 0.5R<r<1.5R时，粒
子从弧 ab 上射出，轨迹半径从 0.5R逐渐增大，粒子射出位置从 a点沿弧向右移动，轨迹
所对圆心角从 π逐渐增大。当轨迹半径等于 R时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，
轨迹所对圆心角减小。因此轨迹半径等于 R时，所对圆心角最大，为 θmax＝π＋＝，粒子最
长运动时间为。综上，选项 C正确。
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