河南省百所名校2021-2022学年高一下学期第四次大联考数学试题含答案

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2021-2022 学年高一年级阶段性测试（四）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.在复平面内，复数 z对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A.2 B.3 C. D.1
2.已知点 ， ，则与 方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， ，若 ，则 x的值可能为（ ）
A. B. C. D.
4.设 ， 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A.若 ， ， ，则
B.若，，
C.若 ， ，则
D.若 ，且 l与 所成的角和 m与 所成的角相等，则
5.已知 ， 是方程 在复数范围内的两个根，则 （ ）
A. B. C.2 D.3
6.已知正三棱柱的体积为 ，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为（ ）
A.1 B. C.2 D.
7.已知向量 ， ， ，则 取最小值时，实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 的边 的中点为 D， 点 E在 所在平面内，且 ，若
，则 （ ）
A.7 B.6 C.3 D.2
9.已知 ，则复数 z在复平面内对应的点在（ ）
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一、三象限的角平分线上 D.第二、四象限的角平分线上
10.在三棱锥 中， ， ， ， 是边长为 的等边三角形，点 E
为棱 的中点，则三棱锥 的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.在直三棱柱 中， ， ，E为棱 上一点，且 ，
则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知球 O是某正四面体的外接球，现用一平面截球 O，所得截面圆的面积的最大值为 ，则该正四面体
的棱长为（ ）
A. B. C. D.4
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13.化简： ______.
14.已知 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若其面积为 ，则 ______.
15.在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ， ， ，则
的长为______.
16.设P，E，F分别是长方体 的棱 ， ， 的中点，且 ，
M是底面 上的一个动点，若 平面 ，则线段 长度的最小值为______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知向量 ， 满足 ， ， .
（Ⅰ）求 与 的夹角 ；
（Ⅱ）求 在 上的投影向量的模.
18.（12 分）
已知复数 .
（Ⅰ）若复数 在复平面内对应的点在第三象限，求实数 m的取值范围；
（Ⅱ）若 ， 在复平面内对应的点分别为 B，C，求 （点 O为坐标原点）.
19.（12 分）
在等腰直角三角形 中，斜边 ，现将 绕直角边 所在直线旋转一周形成一个圆锥.
（Ⅰ）求这个圆锥的表面积；
（Ⅱ）若在这个圆锥中有一个圆柱，且圆柱的一个底面在圆锥的底面上，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体
积.
20.（12 分）
如图，在直三棱柱 中，底面为等腰直角三角形，且 ，点 F在棱 上，且

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