黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学 Word版含答案

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2022 级高三学年暑假开学初考试题
数 学 试 题
考试时间: 120 分钟 分值: 150 分
命题人：贾立忠
一、单选题(每题 5分，共 40 分)
1. 集合
A=¿
,则
A ∩ B=¿
( )
A.
{y∨0<y<1
2}
B.
{
y∨0<y<1
}
C.
{y∨1
2<y<1}
D.
∅
2.
cos 11 π
6=¿
( )
A.
B.
−
❑
√
3
2
C.
1
2
D.
−1
2
3.定义域为
R
的函数
f(x)
满足
f(x+2)=2f(x)
, 当
x∈¿
时,
f
(
x
)
=−
(
1
2
)
¿x − 3
2∨¿,¿
则
f
(
−5
2
)
=¿
( )
A.
−1
4
B.
1
8
C.
−1
2
D.
−1
4
4. 函数
f
(
x
)
=
x2−sin2x+1
2
ex− e− x
的部分图象大致为( ).
5.若命题: “
∃a , b∈R , 使得 a −cosb ≤ b − cosa
”为假命题,则
a , b
的大小关系为( )
A.
a<b
B.
a>b
C.
a ≤ b
D.
a ≥ b
6. 已知函数
f
(
x
)
=sin
(
x+π
3
)
与
g
(
x
)
=sin
(
2x+π
6
)
,
则下列说法错误的是( )
A.
f
(
x
)
与
g
(
x
)
存在相同的对称轴 B.
f
(
x
)
与
g
(
x
)
)存在相同的对称中心
C.
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的值域相同 D.
f
(
x
)
与
g
(
x
)
在
[
0,π
2
)
上有相同的单调性
7. 记实数
x₁, x ₂, … , xₙ
的最小数为
min
{
x1, x2,⋯, xn
)
,
若
f
(
x
)
=min
(
x+1, x ²−2x+1,− x +8
)
,
则函数
f(x)
的最大值为( )
A. 4
B . 9
2
C. 1 D. 5
8.已知
sin 10°∈
(
1
n+1,1
n
)
, n∈Z ,
则
n
的最大值为 ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、多选题(每题 6分，共 18 分)
9. 下列结论正确的是 ( )
A.
−7π
6
是第三象限角 B. 若圆心角为
π
3
的扇形的弧长为 π，则该扇形面积为
3π
2
C. 若角 α的终边过点
P(−3,4),
则
cos α=−3
5
D. 若角 α为锐角，则角 2α 为钝角
10、已知
f(x)
是定义域为
R
的偶函数，
f
(
1
3x+1
)
为奇函数, 当
x∈[−1,0 ]
时，
f
(
x
)
=3x−1
3,
则( )
A.当
x∈[0,1]
时,
f
(
x
)
=3− x −1
3
B. 当x∈[1,2]时,
f
(
x
)
=−3x− 2+1
3
C.
f(x)
在(2,3]上单调递增, 在(3,4]上单调递减 D.
f(42)=−2
3
11、已知函数
f
(
x
)
=sinx∨sinx∨−cos 2 x ,
则 ( )
A. f(x)的图象关于点(π,0)对称 B. f(x)的值域为[-1,2]
C. 若方程
f
(
x
)
=−1
4
在(0，m)上有 6个不同的实根，则实数 m的取值范围是
(
17 π
6,10 π
3
]
D. 若 方 程
[
f
(
x
)
]
²−2af
(
x
)
+a²=1
(
a∈R
)
在(0 ，2π) 上 有 6个不同的实根
xi
(
i=1,2 ,⋯,6
)
,
则
a ∑ ❑t=1
6x ,
的取值范围是(0，3π)
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 不等式
1
x −1≥ −1
的解集为
13.已知函数
f
(
x
)
≡aeˣ −lnx
在区间(1，2)上单调递增，则
a
的最小值为 .
14. 已知
a>0, b>0, c >0, b log42+4clog16
❑
√
2=❑
√
6
2,
则
a c2+2a
bc +18
a+1
最小值为 .
四、解答题：
15、(本题满分 13 分) 已知 α,β 为锐角, 且
sin α=2❑
√
5
5,sin
(
α − β
)
=−
❑
√
10
10 .
求：
(1)
cos 2 α
的值; (2)
sinβ
的值.
16、(本题满分 15 分) 已知.
f
(
x
)
=x³+3ax ²+bx+a²
(
a
⟩
1¿
在
x=−1
时有极值
0
.
(1) 求常数
a , b
的值; (2) 求函数.
y=f
(
x
)
在区间
[
−4,0
)
上的值域。
17. (本题满分 15 分) 将图(1)所示的摩天轮抽象成图(2) 所示的平面图形. 摩天轮直径为 40 米，中心 O距地
面21 米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点 A 处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点.
(1)游客登上摩天轮 4分钟后到达 B处，求该游客距离地面的高度；
(2)求该游客距离地面的高度 h(单位：米)与他登上摩天轮的时间 x (单位：分钟)的函数关系式；
(3)当该游客登上摩天轮 2分钟时，他的朋友在摩天轮最低点 A 处登上摩天轮. 求他和他的朋友距离地面
的高度之差的绝对值的最大值.
18. (本题满分 17 分)已知函数.
f
(
x
)
=aeˣ , g
(
x
)
=lnx+b
(
a ,b ∈R
)
.
(1) 当
b=1
时，
f
(
x
)
≥ g
(
x
)
恒成立，求实数 a的取值范围；
(2) 证明: 当
a=e⁻¹,b <1
时，曲线
y=f
(
x
)
与曲线
y=g
(
x
)
总存在两条公切线；
(3)若直线
l₁, l ₂
是曲线
y=f
(
x
)
与
y=g
(
x
)
的两条公切线，且
l₁, l ₂
的斜率之积为 1，求 a，b的关系
式.
19. (本题满分 17 分)已知函数.
f
(
x
)
=2sinx − x ²+2πx −a .
(1) 当
a=0
时，求 f(x)零点处的切线方程；
(2) 若f(x)有两个零点.
x₁, x ₂(x₁<x₂),
求证：
1− π2
π
(
x2− x1−2π
)
≥ a .
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