黑龙江省大庆实验中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试 数学 PDF版含答案

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大庆实验中学
第1页 共 4页
大庆实验中学实验一部 2023 级高二上学期
8月份开学考试
数学学科试题
2024.8.21—2024.8.22
本试卷共 2页，19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡
上的非答题区域均无效。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 已知
2z i= +
，则
z
z i+
= ( )
A.
3
4
i-
B.
1
4
i-
C.
3
4
i+
D.
1
4
i+
2. 已知随机事件
A
和
B
互斥，
A
和
C
对立，且
，则
 
P A B
（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
3. 在
ABCV
中，已知
1AC
，
3BC
，
30B 
，则
A
（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°
4. 设
a
，
m
，
n
是三条不同的直线，
，
是两个不重合的平面，给定下列命题：
①
// //
//
a
a
 
；②
,
,
a m a n a
m n
 
；③
/ /
m
m
 
；④
a
a
 
 
；
⑤
/ /
/ /
m
n m n
 
 
；⑥
/ /m m n
n
 
 
.其中为真命题的个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄
CB
绕C点旋转时，通过连杆
AB
的传
递，活塞做直线往复运动.当曲柄在
0
CB
位置时，曲柄和连杆成一条直
线，连杆的端点
A
在
0
A
处.设连杆
AB
长
100mm
，曲柄 CB 长
35mm
，则
曲柄自
0
CB
按顺时针方向旋转 53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点
A
移动的距离
0
A A
）约为（ ）
（参考数据：
sin 53.2 0.8 
，
8775 117 75 
）
A.
17mm
B.
18mm
C.
19mm
D.
20mm
6. 若4，2，1，5，4的第 p百分位数是 4，则 p的取值范围是（ ）
A.
( )
40,80
B.
(]
40,80
C.
(]
60,80
D.
[)
60,80
7. 气象意义上从春季进人夏季的标志为：连续 5天每天日平均温度不低于
22 C
°
.现有甲、乙、丙三地
连续 5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正数，单位：
C
°
).①甲地：5个数据的中位数为 24，
众数为 22；②乙地：5个数据的中位数为 27，平均数为 24；③丙地：5个数据中有一个数据是 32，平
均数为 26，方差为 10.2.则肯定进人夏季的地区有（ ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3
8. 在三棱锥
A BCD-
中，
2 2AB BC CD DA= = = =
，
90ADC ABC °
Ð = Ð =
，平面
ABC
⊥平面
ACD
，
三棱锥
A BCD-
的所有顶点都在球
O
的球面上，
E
，
F
分别在线段
OB
，
CD
上运动（端点除外），
2BE CF=
.当三棱锥
E ACF-
的体积最大时，过点
F
作球
O
的截面，则截面面积的最小值为( )
A.
B.
3
C.
3
2
D.
2
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 以下结论中错误的是( )
A.“
a b a b- = +
 
”是“
a
，
b
共线”的充要条件 B.若
//a b
 
，则存在唯一的实数
，使
a b
=
 
C.若
=a b
 
，
=b c
 
，则
=a c
 
D.若
a
，
b
为非零向量且
0a b =×
 
，则
a
，
b
的夹角为直角
10. 有6个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取 1个球，
事件
A
表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件
B
表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件
C
表示
“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件
D
表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A.
A
与
B
是互斥事件 B.
C
与
D
互为对立事件
C.
B
发生的概率为
1
2
D.
B
与
C
不相互独立
11. 如图，矩形
ABCD
中，
M
为
BC
的中点，将
ABM
沿直线 AM 翻折成
1
AB M
，
连接
1
B D
，
N
为
1
B D
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A.不存在某个位置，使得
1
CN AB
B.翻折过程中，
CN
的长是定值
C.若AB BM，则
1
AM B D
D.若1AB BM ，当三棱锥 1
B AMD的体积最大时，其外接球的表面积是 4π
{#{QQABCQSEogggApAAABgCUQGICkOQkAACASgGgEAAMAAAgBFABCA=}#}
大庆实验中学
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三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若
1a=
，
2b=
，
a
与
b
的夹角为
60°
，且
( ) ( )
3 5a b ma b+ ^ -
 
，则
m
的值为_______.
13. 已知样本数据
1 2 3 4 5
a a a a a､ ､ ､ ､
都为正数，其方差
 
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
180
5
s a a a a a     
，则样本数据
1
2 3a
、
2
2 3a
、
3
2 3a
、
4
2 3a
、
5
2 3a
的平均数为 .
14. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮 2个环节，其中任何
一人在每个环节获胜得 2分，失败得 0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.
若甲在每个环节中获胜的概率都为
3
4
，乙在每个环节中获胜的概率都为 p，且甲，乙两人在自主传球环
节得分之和为 2的概率为
5
12
，“梦队”在比赛中得分不低于 6分的概率为 .
四、解答题（本题共 5小题，共77 分.解答应写出必 要的文字说 明，证明 过程 或演算 步骤）
15. (本小题满分 13 分)
一个盒子中装有 4张卡片，每张卡片上写有 1个数字，数字分别是 1，2，3，4.现从盒子中随机抽
取卡片.
(1)若一次抽取 3张卡片，求 3张卡片上的数字之和大于 7的概率；
(2)若第一次抽取 1张卡片，放回后再抽取 1张卡片，求至少有一次抽到数字 3的概率.
16.(本小题满分 15 分)
大庆实验中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，
从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成
并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题.
组别
第1组 第 2组 第 3组 第 4组 第 5组
分组
50 60，
60 70，
70 80，
80 90，
 
90 100，合计
频数 8a20 2
频率 0.16 0.40 0.08 b
(1)写出
a b x y， ， ，
的值；
(2)若根据这次成绩，学校准备淘汰
90%
同学，仅留
10%
的同学进入下一轮竞
赛，请问晋级分数线划为多少合理？
(3)在此次竞赛成绩中抽取 10 名学生的分数：
1 2 3 10
, , , ,x x x x
，已知这 10 个分
数的平均数
90x
，标准差
6s
，若剔除其中的 100 和80 这两个分数，求剩
余8个分数的平均数与标准差.
17.(本小题满分 15 分，应用空间向量解题不给分)
如图，在三棱锥
A BCD
中，
ABD△
是等边三角形，
BD DC
，
2AB
，
4AC
，
60DBC
，
E
，
F
分别
AD
，
DC
的中点.
(1)求证：平面
BEF
平面
ADC
；
(2)求二面角
E BF D 
的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字 0和1组成的数字串，发送
时按顺序每次只发送一个数字．发送数字 1时，收到的数字是 1的概率为
 
0 1
 
  ，收到的数字是
0的概率为1
；发送数字 0时，收到的数字是 0的概率为
 
0 1
 
，收到的数字是 1的概率为
1
．假设每次数字的传输相互独立，且 3
2
 
．
(1)当
 
时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
(2)用X表示收到的数字串，将 X中数字 1的个数记为
 
n X ，如 X“1011”，则
 
3n X ．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且
 
 
 
 
0 : 1 3:11P n X P n X  
，求
；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求
 
 
2P n X
的最大值．
19. (本小题满分 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一
点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABCV的三个
内角均小于120时，使得 120AOB BOC COA     o的点 O即为费马点；当 ABCV有一个内角大于
或等于120时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
(1)若ABCV是边长为 4的等边三角形，求该三角形的费马点 O到各顶点的距离之和；
(2) ABCV的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 sina b A，点
P
为ABCV的费马点.
（i）若 2 3ac ，求 PA PB PB PC PC PA  
；
（ii）若 PA PC tPB  ，求 t的最小值.
{#{QQABCQSEogggApAAABgCUQGICkOQkAACASgGgEAAMAAAgBFABCA=}#}
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