河南省许昌高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学 Word版含解析

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2024-2025 学年高三上学期开学检测
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （）
A．21 B．19 C．12 D．42
2．命题 在 上为减函数，命题 在 为增
函数，则命题 是命题 的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个
顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 ，则正八面体外接球的体积为（）
A．B．C．D．
4．将 这 个数据作为总体，从这 个数据中随机选取 个数据作为一个样本，则该样本的平均数与
总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为（）
A．B．C．D．
5．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围为（）
A．B．C．D．
6．已知 是双曲线 的左､右焦点，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于
两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
7．已知正实数 满足 ，则（）
A． 的最小值为 B． 的最小值为 8
C． 的最小值为 D． 没有最大值
8．已知定义在 上的函数 在区间 上单调递减，且满足 ，函数 的对
称中心为 ，则（）（注： ）
A．B．
C．D．
二．多选题（共 3小题，每题 6分，共 18 分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部
分选对得 3分，有选错的得 0分。）
9．已知 ， 分别是椭圆 C： 的左、右焦点，P是椭圆 C上一点，则（）
A．当 时，满足 的点 P有2个
B． 的周长一定小于
C． 的面积可以大于
D．若 恒成立，则 C的离心率的取值范围是
10．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， D． 的最小值为
11．函数 ，关于 x的方程 ，则下列正确的是（）
A．函数 的值域为 R
B．函数 的单调减区间为
C．当 时，则方程有 4个不相等的实数根
D．若方程有 3个不相等的实数根，则 m的取值范围是
三．填空题（共 3小题，每题 5分，共 15 分。）
12．对于任意实数 ，定义 ，设函 ，则函数
的最小值是．
13．甲 乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为､的6个大小质地完全相同的小球，甲先
从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得 1
分，数字更小者得 0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得 3分的概率为.
14．过双曲线 的上焦点 ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ，直线 与双曲线的上､
下两支分别交于 ，若 ，则双曲线的离心率 .
四．解答题（共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14 分）15．已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
（14 分）16．如图，在四棱柱 中， 平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形， ， ，
，Q为AD 的中点．

(1)在 上是否存在点 P，使直线 平面 ，若存在，请确定点 P的位置并给出证明，若不存在，请说明
理由；
(2)若（1）中点 P存在，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
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