河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试 数学 Word版含解析

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2024-2025 学年高二上学期开学检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知正方体 的棱长为 2，E，F分别是棱 AD， 上的动点，若正方体 的外
接球的球心是 ，三棱锥 的外接球的球心是 ，则 的最大值是（）
A．B．C．D．
3．若 ，则 （）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
4．底面圆周长为 ，母线长为 4的圆锥内切球的体积为（）
A．B．C．D．
5．已知函数 ，若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的图象，若关于 的方程 在 上有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．已知圆锥 在正方体 内， ，且 垂直于圆锥 的底面，当该圆锥的底面积最大
时，圆锥的体积为（）
A．B．C．D．
7．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 （）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．三棱锥 满足 ，二面角 的大小为 ， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（）
A．B．C．D．
二．多选题（共 3小题，每题 6分，共 18 分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部
分选对得 3分，有选错的得 0分。）
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．若 的最小正周期是 ，则
B．当 时， 的对称中心的坐标为
C．当 时，
D．若 在区间 上单调递增，则
10．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 100 名学生的成绩，整理得到如图所
示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这 100 名学生中，成绩位于 内的
学生成绩方差为 12，成绩位于 内的同学成绩方差为 10．则（）
A．
B．估计该年级学生成绩的中位数约为 77.14
C．估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的平均数为 87.50
D．估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为 30.25
11．如图所示，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形， ，点 为侧棱
上的动点， 为线段 中点.则下列说法正确的是（）
A．存在点 ，使得 平面
B． 周长的最小值为
C．三棱锥 的外接球的体积为
D．平面 与平面 的夹角正弦值的最小值为
三．填空题（共 3小题，每题 5分，共 15 分。）
12．已知某圆锥的体积为 .侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为
13．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？
这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 ，相
应的双曲正弦函数的表达式为 .设函数 ，若实数 m满足不等式
，则 m的取值范围为.
14．在四棱锥 中，底面 ABCD 是平行四边形，E是棱 PA 的中点，F在棱 BC 上，满足 ，G在
棱PB 上，满足 D，E，F，G四点共面，则 的值为．
四．解答题（共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14 分）15．若函数 和 的定义域相同，值域也相同，则称 和 是"同域函数".
(1)判断函数 与 是否为"同域函数"，并说明理由；
(2)若函数 和 ，且 是"同域函数"，求 的值.
（15 分）16．如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 的菱形， ， ，
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