衔接点12基本不等式（解析版）-2020年【衔接教材·暑假作业】初高中衔接数学（苏教版）

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衔接点 12 基本不等式
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考点梳理
知识点 1．重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当 a＝b时等号成立)．
知识点 2．基本不等式 ≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b时等号成立；
(3)其中叫做正数 a，b的算术平均数，叫做正数 a，b的几何平均数.
知识点 3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果 x，y(0∈，＋∞)，且 xy＝P(定值)，
那么当 x＝y时，x＋y有最小值 2(简记：“积定和最小”)．
(2)如果 x，y(0∈，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，
那么当 x＝y时，xy 有最大值(简记：“和定积最大”)．
知识点 4．常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3)2≤(a，b∈R)．
(4)＋≥2(a，b同号)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b
．
练习反馈
1. 已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B[来源:Z#xx#k.Com]
【解析】∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x) ≤3
[
x+
(
1−x
)
2
]
2
＝. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝时，“＝”成立．
2. 已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝4，则的最小值为(　　)
A．　　 B．4　 　C．　　　 D．2
【答案】C
【解析】∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，∴ ≥ ，等号在 a＝1，b＝2时成立．
3. 若
0, 0a b 
，则“
4a b 
”是 “
4ab
”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【答案】A
【解析】当
0, 0a > b >
时，
2a b ab 
当且仅当
a b
时取等号，则当
时，有
2 4ab a b  
，解得
4ab
，充分性成立；
当
=1, =4a b
时，满足
4ab
，但此时
=5>4a+b
，必要性不成立，综上所述，“
”是“
4ab
”的充分不必要条件.
4. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是 　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根据题意，若 ， ，且 ，
则 ，
当且仅当 时，等 号成立，故 的最小值是 9；故选： ．
5．已知正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．18 B．16 C．8 D．10
【答案】A
【解析】
∵8
x+1
y=1∴x+2y=
(
x+2y
)
(
8
x+1
y
)
=10+16 y
x+x
y≥10+2❑
√
16 y
x×x
y=18
当且仅当
16 y
x=x
y
，即
x=12
，
y=3
时，
x+2y
取得最小值
18
,故选
A
.
6. （多选题） 若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是 　　
A． 有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值 2 D． 有最大值
【答案】AB
【解析】因为正实数 ， 满足 ，[来源:学_科_网]
由基本不等式可得 ，当且仅当 时取等号，故 正确；
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，故 正确；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
，即有最小值 4，故 错误；
，结合 可知有最小值 ，当且仅当 时取等号，故 错误；故选：
．
7. （多选题）已知正数 a，b满足 ，ab 的最大值为 t，不等式 的解集为 M，则（
）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】∵正数 ， 满足 ，
∴ ，即 的最大值为 ，当且仅当 时，取等号.
∵ 的解集为 ，∴ .故选：BC.
8. 已知
a>0
，
b>0
，且
1
a+1
b=1
，则
3a+2b+b
a
的最小值等于______．
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