衔接点08 全称量词和存在量词（解析版）-2020年【衔接教材·暑假作业】初高中衔接数学（苏教版）

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衔接点 08 全称量词和存在量词

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考点梳理

知识点 1：辑联结词：或（），且（），非（）

若为真，当且仅当均为真；若为假，当且仅当均为假；

若为真，当且仅当为假；

知识点 2. 全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示：

形如“对 M中的任意一个 x，有 p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．全称命题 p的否定：

¬¿ ¿

p：

∃x∈M , ¬p(x)

。

知识点 3. 存在量词与特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．

(2)特称命题：含有存在量词的命题．

(3)特称命题的符号表示：

形如“存在 M中的元素 x0，使 p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．特称命题 p的否定

¬¿ ¿

p：

∀x∈M ,¬p(x)

注意.(1) “所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词;通常用符号“ ”

表示“对任意 ”;

(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词;通常用符号“ ”表

示

“存在 ”;

(3)含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性(或特称)命题;它们的一般形式可

表示为:全称命题: ;存在性(或特称)命题:。其中为给定的集合,

是一个含有的语句;

(4)要判定一个存在性(或特称)命题为真,只要在给定集合中,找到一个元素 ,使为真;否则命题为

假。要判定一个全称命题为真,必须对给定的集合的每一个元素 ,都为真;但要判定一个全称命题

为假,只要在给定集合内找出一个 ,使为假;

(5)含有一个量词的命题的否定:“ ”的否定为“ ”;“ ”的否定为“

”。即全称命题的否定是存在性(或特称)命题;存在性(或特称)命题的否定是全称命题。

练习反馈[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1. 已知命题

p:∀x∈R,sin x≤1

,则 ( )

¬p:∃x∈R,sin x≥1

¬p:∀x∈R,sin x≥1

¬p:∃x∈R,sin x>1

¬p:∀x∈R,sin x>1

【答案】C

【解析】全称命题的否定是存在性(或特称)命题,选C.

2. 已知命题 p：∃x0R∈，x－x0＋1≥0；命题 q：若 a<b，则>.则下列为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　　　　 B．p(∧┐q)

C．(┐p)∧q D．(┐p) (┐∧q)

【答案】B　

【解析】因为 x2－x＋1＝2＋>0，所以 p为真命题，则┐p为假命题；当 a＝－2，b＝1时，<，所以 q为假

命题，则┐q为真命题．故 p∧q为假命题，p(┐∧q)为真命题，(┐p)∧q为假命题，(┐p) (┐∧q)为假命题．

故选 B.

3. 设非空集合 P，Q满足 P∩Q＝P，则(　　)

A．∀x∈Q，有 x∈P B．∀x∉Q，有 x∉P

C．∃x∉Q，使得 x∈P D．∃x∈P，使得 x∉Q

【答案】B

【解析】因为 P∩Q＝P，所以 P⊆Q，所以 A，C，D错误，B正确．

4．下列命题中正确的个数是

()

①∃x∈R

，

x ≤ 0

；

②

至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；

③∃x∈{x∨x

是无理数

}

，

是无理数．

A. 0B. 1C. 2D. 3

【答案】D

【解析】

①∃x∈R

，

x ≤ 0.

正确；

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