立体几何专题：二面角的四种求法-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）

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立体几何专题：二面角的四种求法
一、二面角
1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。
3、二面角的大小范围：[0°，180°]
二、求二面角大小的步骤是：
（1）作：找出这个平面角；
（2）证：证明这个角是二面角的平面角；
（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
三、确定二面角的平面角的方法：
1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱 a上的任意一点 O为端点，
在两个面内分别作垂直于 a的两条射线 OA，OB，则∠AOB 为此二面角的平面角
a
O
A
B
2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的
点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面
α
内选一点 A向另一个平面
β
作垂线 AB，垂足为 B，再过点 B向棱 a
作垂线 BO，垂足为 O，连接 AO，则∠AOB 就是二面角的平面角。
3、垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是
二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点 A作
AB⊥α
于B，作
AC ⊥β
于C，
面ABC 交棱 a于点 O，则∠BOC 就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
（1）方法：已知平面
β
内一个多边形的面积为 S，它在平面
α
内的射影图形的面积为
，
平面
α
和平面
β
所成的二面角的大小为
θ
，则
COSθ=S射影
S
.
这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
（2）以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。
证明：如图，平面
β
内的△ABC 在平面
α
的射影为△
A'BC
，作
AD ⊥BC
于D，连结
AD.
∵AA'⊥α
于
A'
，
D∈α
，
∴AD
在
α
内的射影为
A'D
.
又
∵AD⊥BC , BC ⊂α
，
∴A'D⊥BC
（三垂线定理的逆定理）.
∴∠ ADA'
为二面角
α
—BC—
β
的平面角.
设△ABC 和△
A'BC
的面积分别为 S和
S'
，
∠ADA'=θ
，则
S=1
2BC⋅AD , S'=1
2BC⋅A'D
.
∴cos θ=A'D
AD =
1
2BC⋅A'D
1
2BC⋅AD
=S'
S
.
A
B D C
题型一 定义法求二面角
【例 1】如图，已知三棱锥 ABCD 的各棱长均为 2，求二面角 ACDB 的余弦值．
【答案】
【解析】如图，取 CD 的中点 M，连接 AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB 为二面角 ACDB 的平面角．
设点 H是△BCD 的重心，
则AH⊥平面 BCD，且点 H在BM 上．
在Rt△AMH 中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，则 cos∠AMB＝＝，
即二面角的余弦值为.
【变式 1-1】如图，AC⊥平面 BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二
面角的大小．
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