空间向量专题：空间向量在动点探究中的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）

3.0 envi 2025-03-31 18 4 3.06MB 26 页 3知币
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空间向量专题：空间向量在动点探究中的应用
一、与空间向量有关的探索性问题
一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，
另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在
性问题，
二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表
示。
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关
系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否
则不存在。
三、动点的设法（减少变量数量）
在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而
(x , y , z)
可表示空间中的
任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下
设法。
1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；
依据：根据平面向量共线定理—若 ，使得
【示例】已知 ， ，那么直线 上的某点 坐标可用一个变量表示，
方法如下： ，
因为 在 上，所以
∴，
所以可设点 .
2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。
依据：平面向量基本定理—若 ， 不共线，则平面上任意一个向量 ，均存在 ， ，
使得
【示例】已知 ， ， ，则平面 上某点 坐标可用两个变
量表示，
方法如下： ， ，
故 ，即
所以可设点 .
题型一 平行中的动点问题
【例 1】如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 平面 ， ，
是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【解析】（1）证明：因为四棱锥 底面是正方形，且 平面 ，
以点 为坐标原点，
所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系.
则 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，且 .
所以 ， ，且 .
所以 ⊥平面 .
（2）假设在线段 上存在点 ，使得 //平面 .
设 ，
则.
因为 //平面 ， ⊥平面 ，
所以 .所以 .
所以，在线段 上存在点 ，使得 //平面 .其中 .
【变式 1-1】如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中， ， ， 平
面 ， ， ， .
（1）求证： .
（2）设点 E在棱 PC 上， 若 平面 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在底面 内过 作直线 ，交 于 F，
在直角 中， ， ,可知 ，
， ，
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