高中数学导数知识点归纳总结

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导

数

导数的概念

导数的运算

导数的应用

导数的几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值

常见函数的导数

导数的运算法则

§14. 导数

导数知识要点

知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在

处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值

称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限

存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫

做在处的导数，记作或，即 =

注：① 是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

② 以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为 .

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴ 函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于 .

于是

x)(xfy 

x

y)()( 00 xfxxfy 

xfxxf









)()( 00

)(xfy 0

xx 

xfxxf

xx 









)()(

limlim 00

00 )(xfy 0

)(xfy 0

x)( 0

'xf 0

y)( 0

'xf

xfxxf

xx 









)()(

limlim 00

xx

)(xfy A

)(

xfy 

B A B BA 

)(xfy 

)(xfy 0

)(xfy 

)(xfy 0

x)(xfy 0

xxx  0 0

xx 

0x

)]()()([lim)(lim)(lim 000

xfxfxxfxxfxf xxxx  

⑵ 如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，

；当＜0时，，故不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

② 可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，

也就是说，曲线在点 P处的切线的斜率是，切线方程为

4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

注：① 必须是可导函数.

② 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、

差、积、商不一定不可导.

例如：设，，则在处均不可导，但它们和

在处均可导.

5. 复合函数的求导法则：或

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴ 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞ 0，则

为增函数；如果＜0，则为减函数.

⑵ 常数的判定方法；

如果函数在区间内恒有 =0，则为常数.

).()(0)()(limlim

)()(

lim)](

)()(

[lim 000

0xfxfxfxf

xfxxf

xfx

xfxxf

xxxx 













)(xfy 0

x)(xfy 0

||)( xxf 

0x0

0xx







||

x

1



x

1



x



 0

lim

)(xfy 0

x)(xfy ))(,( 0xfx

)(xfy ))(,( 0xfx )( 0

'xf

).)(( 0

0xxxfyy 

'''

)( vuvu 

)(...)()()(...)()( ''

21 xfxfxfyxfxfxfy nn 

''''''' )()( cvcvvccvuvvuuv 

)0(

















v

uvvu

vu,

xxf 2

sin2)( 

xxg 2

cos)( 

)(),( xgxf 0x

 )()( xgxf

xx cossin 

0x

)()())(( ''

'xufxf x



xux uyy ''' 

)(xfy )(

'xf

)(xfy )(

'xf )(xfy 

)(xfy I)(

'xf )(xfy 

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