概率与统计 04 常见的离散型随机变量分布列问题 突破专项训练-2022届高三数学一轮复习解答题

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临澧一中 2022 届高三数学解答题突破专项训练
概率与统计 04 （常见的离散型随机变量分布列问题）
1．甲、乙两位同学在一起做猜拳（石头剪刀布）游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得 1分，输的
一方得 分，平局时两个人都各得 0分．出现得 3分者，则游戏结束，得 3分者获胜．
（1）求两次猜拳后，乙得 2分的概率；
（2）求在至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；
（3）若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得 分的概率．
2．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败者下场作
为旁观者，原旁观者上场与生者比赛，按此规则循环下去三人经过抽签决定由甲、乙先上场比
赛，丙作为旁观者．根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为 ，乙丙比赛乙胜概率为
，丙甲比赛丙胜概率为 ，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局．
（1）比赛完 3局时，求甲、乙、丙各胜 1局的概率；
（2）比赛完 4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量 ，求 的分布列和期望．
3．某楼盘举行购房抽奖送装修基金活动，规则如下：对购买该楼盘的业主，从装有 2个红球、2
个白球的 A盒和装有 3个红球、2个白球的 B盒中，各随机抽出 2个球．在摸出的 4个球中，若
4个球都为红球，则为一等奖，奖励 10000 元的装修基金；若恰有 3个红球，则为二等奖，奖励
5000 元的装修基金；若恰有 2个红球，则为三等奖，奖励 3000 元的装修基金；其他情况视为鼓
励奖，奖励 1500 元的装修基金．
（1）三名业主参与抽奖，求恰有一名业主获得二等奖的概率；
（2）记某业主参加抽奖获得的装修基金为 X，求 X的分布列和数学期望．
4．某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于 100 元的商品就有资格参加一次
抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠．活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的
10 个球，分别编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，购物者在箱中摸两个球，球的编号之
和为 11 视为中奖，其余情况不中奖．
（1）求抽奖活动中奖的概率；
（2）某顾客准备分别购买两件原价为 200 元、300 元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总
付款额的分布列．
5．新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，是指 2019 新型冠状病毒感染导致的肺炎．某定点医院
对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了 1000 份发热病人的血液样本，其中感染新
型冠状病毒的有 200 份，以频率作为概率的估计值．
（1）某时间段内来院就诊的 5名发热病人中，恰有 3人感染新型冠状病毒的概率是多少？
（2）治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统 由 3个电子元件组成，各个电子
元件能否正常工作的概率均为 ，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统 中
有
超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作．为提高 系统正常工作概率，在系
统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为
，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作，问：
满足什么条件时，可以提高整个 系统的正常工作概率？
6．2021 年孝感万达广场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时
的免费，超过半小时的部分每小时收费 3元（不足1小时的部分按 1小时计算）．现有甲、乙
两人在该停车场临时停车，两人停车时间互不影响且都不超过2.5 小时．
（1）若甲停车的时长在不超过半小时、半小时以上且不超过1.5 小时、1.5 小时以上且不超过
2.5 小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、
乙两人停车付费之和为 6元的概率；
（2）若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5 小时的概率分别为 、 ，停车 1.5 小时以上且不
超过2.5 小时的分别概率为 、 ，求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率．
7．第 17 届亚洲运动会于2014 年9月19 日 月 4日在韩国仁川举行．现有 5个人去观看某日
下午的比赛，根据组委会安排当天下午有甲、乙两场比赛，5人约定：每一个人通过一枚质地
均匀的骰子决定自己观看哪场比赛，掷出点数为 1或2的人去观看甲场比赛，掷出点数大于 2
的人去观看乙场比赛．
（1）求这5个人中恰有 2人去观看甲场比赛的概率；
（2）求这5个人中去观看甲场比赛的人数大于去观看乙场比赛的人数的概率；
（3）用 ， 分别表示这 5个人中观看甲、乙场比赛的人数，记 ，求随机变量 的
分布列与数学期望 ．
8．近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于 2020 年7月31 日正式开通．北斗
三号全球卫星导航系统由 24 颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步
轨道卫星，共30 颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于 10 米，实测的导
航定位精度都是 米，全球服务可用性，亚太地区性能更优．
（1）南美地区某城市通过对 1000 辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度 近似满足
，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 ， 的概率；
（2）①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约 5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分
析，选取的 5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为 ，求 的数学期望；
②某地基站工作人员30 颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记 为选取的 4颗卫星中含
倾斜地球同步轨道卫星的数目，求 的分布列和数学期望．
附： 若 ， 则 ， ，
．
9．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环
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