第19讲 切线的判定和性质（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升

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第19 讲 切线的判定和性质（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 利用圆的切线的性质求角度
1．（2022•哈尔滨）如图，AD，BC 是⊙O的直径，点 P在BC 的延长线上，PA 与⊙O相切于点 A，连接
BD，若∠P＝40°，则∠ADB 的度数为（　　）
A．65° B．60° C．50° D．25°
思路引领：根据切线的性质得出∠OAP＝90°，进而得出∠BOD 的度数，再利用等腰三角形的性质得出
∠ADB 的度数即可．
解：∵PA 与⊙O相切于点 A，∠P＝40°，
∴∠OAP＝90°，
∴∠BOD＝∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠ADB＝∠OBD＝（180°﹣∠BOD）÷2＝（180° 50°﹣）÷2＝65°，
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2022•琼海二模）如图，AB 是⊙O的直径，点 E，C在⊙O上，点 A是
^
EC
的中点，过点 A画⊙O的切
线，交 BC 的延长线于点 D，连接 EC．若∠ADB＝58°，则∠ACE 的度数为（　　）
A．29° B．31° C．58° D．32°
思路引领：先根据切线的性质得到∠BAD＝90°，则利用互余计算出∠B＝32°，然后根据圆周角定理得
到∠ACE 的度数．
解：∵AD 为⊙O的切线，
∴AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ADB＝90° 58°﹣＝32°，
∵点A是
^
EC
的中点，
∴
^
AE=
^
CE
，
∴∠ACE＝∠B＝32°．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
类型二 利用圆的切线的性质求长度
典例 2 （2022•沙坪坝区校级三模）如图，AB 是⊙O的弦，PO⊥OA 交AB 于点 P，过点 B的切线交 OP 的
延长线于点 C，若⊙O的半径为
❑
√
5
，OP＝1，则 BC 的长为（　　）
A．2 B．
❑
√
6
C．
5
2
D．
思路引领：根据切线的性质可得∠OBC＝90°，从而可得∠OBA+∠ABC＝90°，再根据垂直定义可得
∠POA＝90°，从而可得∠A+∠APO＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角
相等可得∠ABC＝∠BPC，从而可得 BC＝CP，最后在 Rt△OBC 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
解：∵BC 与⊙O相切于点 B，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∵PO⊥OA，
∴∠POA＝90°，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠ABC＝∠APO，
∵∠APO＝∠BPC，
∴∠ABC＝∠BPC，
∴BC＝CP，
设BC＝CP＝x，
在Rt△OBC 中，OB2+BC2＝OC2，
∴（
❑
√
5
）2+x2＝（x+1）2，
∴x＝2，
∴BC＝2，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三
角形的判定是解题的关键．
针对训练 2
2．（2022•吉州区模拟）如图，在半径为 1的⊙O中，直线 l为⊙O的切线，点 A为切点，弦 AB＝1，点 P
在直线 l上运动，若△PAB 为等腰三角形，则线段 OP 的长为 　 　．
思路引领：连接 OB，如图，先判断△OAB 为等边三角形得到∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，再根据切
线的性质得到∠OAP＝90°，讨论：当 PA＝PB 时，如图 1，利用 PO 垂直平分 AB 得到∠AOP＝30°，先
求出 PA
¿
❑
√
3
3
，则 OP
¿2❑
√
3
3
；当 AP＝AB＝1，如图 2，利用△OPA 为等腰直角三角形得到 OP
¿❑
√
2
OA
¿❑
√
2
；当 BP＝BA＝1，如图 3，证明点 O、B、P共线，从而得到 OP＝2．
解：连接 OB，如图，
∵OB＝OC＝AB＝1，
∴△OAB 为等边三角形，
∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵直线 l为⊙O的切线，点 A为切点，
∴OA⊥PA，
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