第18讲 构造辅助圆（隐圆），巧解几何题（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

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第18讲 构造辅助圆（隐圆），巧解几何题（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 几个点到某定点距离相等构造圆
名师点金：根据圆的集合定义，当出现到顶点的距离等于定长的点（或动点）时，可考虑作辅助圆，结合
“三点定圆”。共端点的三条线段的另外三个端点在以相同端点为圆心，相等线段长为半径的圆上。
典例 1（2019 秋•连云港期中）如图，点 O为线段 BC 的中点，点 A、C、D到点 O的距离相等，若∠ABC
＝40°，则∠ADC 的度数是　 　．
思路引领：根据题意得到四边形 ABCD 共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
解：由题意得到 OA＝OB＝OC＝OD，作出圆 O，如图所示，
∴四边形 ABCD 为圆 O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故答案为：140°．
点睛：此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
针对训练 1
1．（2021 秋•忻府区校级期中）如图所示，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC＝2，AB＝AC＝AD
¿❑
√
5
．则
CD 的长为（　　）
A．
3
5
❑
√
5
B．
❑
√
15
C．2
❑
√
3
D．
6
5
❑
√
5
思路引领：以A为圆心，AB 长为半径作圆，延长 BA 交⊙A于F，连接 DF，过点 C作CE⊥AB 于点
E，AG⊥CD 于点 G．设 BE＝x，则 AE
¿❑
√
5−¿
x，在△ACE 与△BCE 中根据勾股定理求出 x的值，进而
得出 CE 的长，在△ACG 中根据勾股定理求出 CG 的长，进而可得出结论．
解 ： 以 A为 圆 心 ， AB 长 为 半 径 作 圆 ， 延 长 BA 交⊙A于F， 连 接 DF ， 过 点 C作CE⊥AB 于 点
E，AG⊥CD 于点 G．
∵DC∥AB，CE⊥AB 于点 E，AG⊥CD 于点 G，
∴四边形 ABCG 是矩形，CG
CD．
设BE＝x，则 AE
¿❑
√
5−¿
x，
在△ACE 与△BCE 中，AC2﹣AE2＝BC2﹣BE2，
即（
❑
√
5
）2﹣（
❑
√
5−¿
x）2＝22﹣x2，解得 x
¿2❑
√
5
5
．
在Rt△BCE 中，
∵BC＝2，BE
¿2❑
√
5
5
，
∴CE
¿❑
√
BC2−BE2=❑
√
22−(2❑
√
5
5)
2
=4❑
√
5
5
，
∴AG＝CE
¿4❑
√
5
5
．
在Rt△ACG 中，
∵AC
¿❑
√
5
，AG
¿4❑
√
5
5
，
∴CG
¿❑
√
AC2−AG2=❑
√
(❑
√
5)2−( 4❑
√
5
5)
2
=3❑
√
5
5
，
∴CD＝2CG
¿6❑
√
5
5
．
故选：D．
解题秘籍：本题考查的是勾股定理，解题的关键是作出以 A为圆心，AB 长为半径的圆，构建直角三角
形，从而求解．
类型二 定角定弦模型
名师点金：等弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角时直角，反之，如果一定长线段的对
角角度恒定不变，那么线段的两个端点及动角的顶点在同一个圆上。
（1）定边对直角
例2（2021•东西湖区模拟）如图，已知 A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC 是直角三
角形，则满足条件的 C点有（　　）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
思路引领：过点 A作AB 的垂线，交 x轴于点 C1，交 y轴于点 C2；过点 B作AB 的垂线，交 x轴于点
C3，交 y轴于点 C4；根据直径所对的圆周角为直角，以 AB 为直径作圆，根据 A和B的坐标求出 AB 的
长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与 y轴相切，可得出圆与 y轴有 1个交点，与
x轴交于 2点．所以满足条件的点共有 7个．
解：分三种情况考虑：
①当A为直 角顶 点时 ，过 A作AC⊥AB ，交 x轴 于点 C1，交 y轴于点 C2，此时 满 足 题意 的点为
C1，C2；
②当B为直 角 顶 点时，过 B作BC⊥AB，交 x轴于点 C3， 交 y轴于点 C4，此时 满 足 题意的点为
C3，C4；
③当C为直角顶点时，以 AB 为直径作圆，由 A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与 y轴相切，
则此圆与 y轴有 1个交点，与 x轴有 2个交点，分别为 C5，C6，C7．
综上，所有满足题意的 C有7个．
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