第11讲二次函数全章复习与测试（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（浙教版）（原卷版）

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第 11 讲二次函数全章复习与测试（核心考点讲与练）

【知识梳理】

一．二次函数的定义

（1）二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中

x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常

数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后

再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0这个关键条件．

（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变

量的取值范围还需使实际问题有意义．

二．二次函数的图象

（1）二次函数 y＝ax2（a≠0）的图象的画法：

①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取 x值，求出函数值，列表．

②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．

③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取

三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛

物线 y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画

另一侧．

（2）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象

二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数 y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或

向下平移| |个单位得到的．

三．二次函数的性质

二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ，），对称轴直线 x＝﹣ ，二次函数 y＝

ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

①当a＞0时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y

随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．

②当a＜0时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y

随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

③抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线 y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向

下平移| |个单位得到的．

四．二次函数图象与系数的关系

二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）

①二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当 a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．

②一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即 ab＞0），对称轴在 y轴左侧；当 a与b异号时（即 ab＜0），对称轴在 y轴右侧．

（简称：左同右异）

③．常数项 c决定抛物线与 y轴交点．抛物线与 y轴交于（0，c）．

④抛物线与 x轴交点个数．

△＝b24﹣ac＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；△＝b24﹣ac＝0时，抛物线与 x轴有 1个交点；△＝b2﹣

4ac＜0时，抛物线与 x轴没有交点．

五．二次函数图象上点的坐标特征

二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ，）．

①抛物线是关于对称轴 x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．

顶点是抛物线的最高点或最低点．

②抛物线与 y轴交点的纵坐标是函数解析中的 c值．

③抛物线与 x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为 x＝

．

六．二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故 a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出

原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求

出解析式．

七．二次函数的最值

（1）当 a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为

图象有最低点，所以函数有最小值，当 x＝时，y＝．

（2）当 a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为

图象有最高点，所以函数有最大值，当 x＝时，y＝．

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶

点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从

而获得最值．

八．待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，

a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；

（2）用待定系数法求二次函数的解析式．

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入

数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当

已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选

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