第10讲 二次函数图象的轴对称性质的运用（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

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第10 讲 二次函数图象的轴对称性质的运用（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 确定 a,b,c 及其代数式的取值或取值范围
典例 1（2022•嘉峪关三模）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c
＜3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为 2．其中，
正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
针对训练 1
1．（2022•榆阳区二模）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，已知其对称轴为 x＝1，则下列结
论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．2a﹣b＝0 C．5a+3b+2c＜0 D．4ac﹣b2＞0
类型二 根据纵坐标相等求代数式的值
典例 2（2021 秋•镜湖区月考）已知点 P（a，m）和 Q（b，m）是抛物线 y＝2x2+4x3﹣上的两个不同点，
则当 x＝a+b时，则代数式 2x2﹣x＝　 　．
针对训练 2
2．（2020•浙江自主招生）已知二次函数 y＝2x2+9x+34，当自变量 x取两个不同的值 x1，x2时，函数值相
等，则当自变量 x取x1+x2时的函数值是 　．
3．二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象与 x轴交于 A（1，0），且当 x＝0和x＝﹣2时所对应的函数值相等，二
次函数图象与 y轴交于 C点，与 x轴的另一个交点为 B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点 M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC 的面积最大，求此时点 M的坐标．
类型三 求两线段之和的最小值
典例 3（2021•安定区校级三模）如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
−5
2
）三点
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，则点 P的坐标为　 　；
（3）点 M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N四点构成的四边形为平行
四边形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
针对训练 3
4．（2020 秋•新华区校级月考）已知抛物线经过 A（1，0），B（5，0），C（0，4），Q四个点，且点 Q
在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）P是抛物线对称轴上的一点，直接写出满足 PA+PC 的值为最小的点 P坐标；
（3）点 Q是否能使得△ABQ 的面积和△ABC 的面积相等？若能，请直接写出此时的点 Q的坐标；若不
能，请说明理由．
类型四 综合运用
典例 4（2021•罗平县模拟）如图，已知抛物线 y＝x2+bx+c的对称轴为 x＝1，顶点为 D，与 x轴交于 A、B
两点，与 y轴交于点 C．
（1）若点（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上任意两点，其中 x1＜x2，当 x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）若 C（0，﹣3），点 P是该抛物线对称轴上的一动点，当点 P到直线 CD 的距离等于点 P到点 A
的距离时，求点 P的坐标．
针对训练 4
5．（2020 秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系．xOy 中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线 y＝
ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中 x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为 x＝1，当 x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为 x＝t，若对于 x1+x2＜4，都有 y1＞y2，求 t的取值范围．
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