第10讲 二次函数y=ax2+k的图象和性质（解析版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）

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第10 讲 二次函数 y=ax2+k的图象和性质
【学习目标】
1. 会画二次函数 y=ax2+k的图象.
2. 掌握二次函数 y=ax2+k的性质并会应用.
3. 理解 y=ax²与y=ax2+k之间的联系.
【基础知识】
1．二次函数 y=ax2+k（a ≠ 0）的性质
【问题 1】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象，并填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
开口向上 y轴 （0,0） 最小值 0当x＜0时 ， y随x的增大而减
小；当 x＞0时，y随x的增大而
增大。
开口向上 y轴 （0,1） 最小值 1
【问题 2】在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
对于【问题 2】我们就不再赘述，请大家照着【问题 1】的方法研究即可。
由【问题 1】【问题 2】概括二次函数 y=ax2+k（a ≠ 0）的性质是：
y=ax2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （0，k） （0，k）
最值 当 x=0 时，y取最小值 k当x=0 时，y取最大值 k
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减
小；当 x＞0时，y随x的增大
而增大。
当x＜0时，y随x的增大而增
大；当 x＞0时，y随x的减小而
减小。
对称轴 图象关于 y轴对称
2.二次函数 y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系
二次函数 y=ax2+k的图象可以由 y=ax2的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移 k个单位长度得到.当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
【考点剖析】
考点一：二次函数 y=ax2+ k 的顶点与对称轴问题
例1．（2022·广西南宁市·九年级期中）抛物线 y＝x23﹣的顶点坐标、对称轴是（　　）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
【答案】B
【分析】按照二次函数 y＝ax2+k顶点坐标（0，k），对称轴 y轴即可求解．
【详解】解：∵y＝x23﹣，∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为 y轴；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题
的关键．
变式 1. （2021·安徽马鞍山市·九年级期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵y=-2x2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
考点二： 二次函数的平移问题
例2．（2022·江苏·九年级专题练习）将函数 向上平移 3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋
转180°所得图像的函数解析式为__________．
【答案】
【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转 180°则a变为-a，即可求解．
【详解】解：将函数 向上平移 3个单位后，得到函数解析式为 ，新函数图像绕顶
点旋转 180°所得图像形状不变，开口向上，所以 a变为相反数-a，所以函数解析式为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了函数图象的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，二次函数解析
式中 a的符号决定函数图象开口方向，a的绝对值决定函数图象开口大小．
变式 2. （2021·湖北孝感·九年级期中）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（ÙÙÙÙÙÙÙ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相
同才能够互相平移．
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