第09讲 二次函数y=ax2的图象和性质（原卷版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）

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第09 讲 二次函数 y=ax2的图象和性质
【学习目标】
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数 y=ax2的图象，概括出图象的特点.
3.掌握形如 y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.
【基础知识】
1. 二次函数 y=ax2的图象及其性质
【问题 1】画出二次函数 y=x2的图象.
1）列表：在 y=x2中自变量 x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2）描点：根据表中 x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3）连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
二次函数 y=ax2的图象的性质：1）y=x2是一条抛物线；2）图象开口向上；3）图象关于 y轴对称；4）顶点
（ 0 ，0 ）；5）图象有最低点．
【问题 2】画出函数 y=-x2的图象.
1）列表：在 y=-x2 中自变量 x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2）描点：根据表中 x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3）连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = -x2 的图象．
二次函数 y=-x2的图象的性质：1）y＝-x2是一条抛物线；2）图象开口向下；3）图象关于 y轴对称；4）顶
点（ 0 ，0 ）；5）图象有最高点。
归纳总结：二次函数 y=ax2 的图象性质
y=ax2a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （0，0） （0，0）
最值 当 x=0 时，y取最小值 0当x=0 时，y取最大值 0
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减
小；当 x＞0时，y随x的增大
而增大。
当x＜0时，y随x的增大而增
大；当 x＞0时，y随x的减小而
减小。
对称轴 图象关于 y轴对称
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
2. 二次函数 y=ax2的图象及其性质的应用
二次函数 y=ax2的图象关于 y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据
图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对
于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
【考点剖析】
考点一：二次函数 y=ax2 的顶点与对称轴问题
例1．（2021·江苏淮安市·九年级期末）抛物线 的顶点坐标是_____．
变式 1. （2021·古浪县第四中学九年级月考）抛物线 y=-x2的对称轴是 ________，顶点坐标是_______．
考点二： 二次函数的开口问题（开口方向与开口大小）
例2．（2021·吉林白山市·九年级期末）已知二次函数 y=（m-3）x2的图象开口向下，则 m的取值范围是__
_
变式 2. （2021·福建龙岩市·九年级期末）已知抛物线 与 的形状相同，则 ______．
考点三：二次函数 y=ax2 的增减性问题
例3．（2022·江苏江苏·九年级期末）已知二次函数 ，当 时，y随x增大而减小，则实数 a
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式 3.（2022·山东济南·九年级期末）已知点 A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数
图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
考点四：二次函数 y=ax2 的最值问题
例4．（2022·甘肃张掖市·九年级月考）已知 y＝（m+1）x是二次函数，且当 x＞0时，y随x的增大而
减小．（1）求 m的值；（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
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