第06讲 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）（原卷版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）

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第06 讲 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【学习目标】
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
【基础知识】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。
1）设
x2+2
√
2x+1=0
是一元二次方程 ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则
√
m2+n2+3mn
，
注意：对于
ax2+bx +c=0
而言，当满足①
a≠0
、②
Δ≥0
时，才能用韦达定理。
2）设
m+n=−2
√
2
是一元二次方程 ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根
则：
mn=1
时，有 ; 时，有
时，有
【考点剖析】
考点一：利用根与系数的关系求方程的根
例1．（2021·广东汕尾市·九年级一模）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 2，则另
一个根是（ ）
A．B．C．3 D．
变式 1. （2021·江苏南通市·九年级二模）若2＋ ，2－ 是关于 x的方程 x2＋mx＋n＝0的两个实数根，
则m＋n的值为（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．5
考点二：利用根与系数的关系求有关根的代数式的值
例2．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级模拟）若方程 的两根为 ， ，
则_____．
变式 2. （2021·江苏南通市·九年级期中）方程 x2+2x8﹣＝0的两根为 x1、x2，则 +2x1x2+ +2020＝
_____．
考点三：利用根与系数的关系及代根法综合求值
例3．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知 ， 是方程 的两根，则代数式
的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
变式 3. （2021·江苏南通市·九年级二模）设 ， 是一元二次方程 的两个根，则
______．
考点四：利用根与系数的关系求参数值
例4．（2021·湖北随州市·中考真题）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为
， ，若 ，则 ______．
3 3
2
1
x
x
1
2
x
x
2
3 7 0x x  
2
5 2
 
 
变式 3. （2021·合肥寿春中学九年级期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2 -5x + m = 0．（1）若方程有实数
根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根为 x1，x2，且满足 3 x1-2x2 =5，求实数 m 的值．
考点五：构造一元二次方程求代数式的值
例5．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）设 ，且 ，则代数式 的
值为______．
变式 5. （2021•郫都区校级模拟）已知 a22﹣a1﹣＝0，b2+2b1﹣＝0，且 ab≠1，则 的值为　 　．
考点六：根与系数的关系与三角形综合
例6．（2022•吉安期中）关于 x的一元二次方程（m1﹣）x22﹣mx+m+1＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（3）若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角
形时，求 m的值．
变式 6.（2021 春•西湖区校级期中）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论 m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2；
①求代数式 4x1x2的最大值；②若方程的一个根是 6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求
等腰三角形的周长．
考点七：根与系数关系中的新定义问题
例7．（2021•武侯区校级期中）如果关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0有两个实数根 x1，x2，且满足数
轴上 x1，x2所表示的点到 2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于 2的等距方程”以下“关于
2的等距方程”的说法，正确的有　 　 ．（填序号）
2 2
1 3 , 1 3a a b b   
a b¹
2 2
1 1
a b
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