第05讲 离散型随机变量及其分布列(核心考点讲与练)2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（解析版）

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第 05 讲 离散型随机变量及其分布列(核心考点讲与练)
一、随机变量和离散型随机变量
1. “随机试验”的概念
一般地，一个试验如果满足下列条件：
a．试验可以在相同的情形下重复进行．
B．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．
c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出
现哪一个结果．
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．
2．随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
通常用大写拉丁字母 X，Y，Z（或小写希腊字母 ξ，η，ζ）等表示。
要点诠释:
（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系
是人为建立起来的，但又是客观存在的。
例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验
的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用 ξ 来表示这个随机试验
中出现正面向上的次数，则 ξ=0，表示试验结果为反面向上，ξ=1，表示试验结果为正面向
上。
（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化 。
3．离散型随机变量的定义
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散
型随机变量。
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机
变量，它的所有可能取值为 0，1，…，10；某网页在 24 小时内被浏览的次数 Y 也是一个离
散型随机变量，它的所有可能取值为 0, 1,2，….
4. 随机变量的分类
随机变量有以下两种：
(1) 离散型随机变量:
(2) 连续型随机变量: 如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫
做连续型随机变量．
要点诠释:
离散型随机变量和连续型随机变量的区别：
离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按
一定次序一一列出.
连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举．
例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站
等出租车的时间（单位：秒）就不是一个离散型随机变量．
5. 若
是随机变量，
,a b
 
 
其中 a,b 是常数，则
也是随机变量，并且不改变其属性
（离散型、连续型）。
二、离散性随机变量的分布列
分布列定义：
设离散型随机变量
所有可能取得的值为 x1,x2,…,x3,…xn,若
取每一个值 xi(i=1,2,…，n)
的概率为
ii
PxP )(
，则称表
x1x2… xi… xn
P P1P2… Pi… Pn
为随机变量
的概率分布，简称
的分布列.
要点诠释：
离散型随机变量的分布列，不仅清楚地反映离散型随机变量所取的一切可能的值，而且
能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，
是进一步研究离散型随机试验的数量特征的基础。
2.分布列的性质
离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
（1）Pi≥0,i=1,2，…，n；
（2）P1+P2+…+Pn=1
要点诠释：
1. 离散型随机变量分布列的两条性质是检验某事件的概率或者一个分布列是否正确的重
要依据。
2. 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值
的概率的和即
1
( ) ( ) ( )
k k k
P x P x P x
 
 
3. 离散型随机变量函数及其分布列
一般地，若 ξ 是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则 f(ξ)也是随机变量，也就
是说，随机变量的某些函数也是随机变量。
已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数
( )f
 
的分布列：
①ξ 与 η 一一对应时，ξ 的每个取值的概率就对应着η 的每个取值的概率；
②如果 ξ 有多个取值对应一个 η 的值，那么这个 η 值的概率就是这多个 ξ 值的概率
的和。
要点诠释：
已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数
( )f
 
的分布列，关键是弄清
楚 ξ 取每一个值时对应的 η 所取的值。
三、离散性随机变量的分布列的求法
1.求随机变量的概率分布有以下几步：
（1）要确定随机变量
的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；
（2）分清概率类型，计算
取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放
回抽样还是不放回抽样）；
（3）列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.
要点诠释：
随机变量的概率分布的求解要注意以下几点：
① 搞清楚随机变量每个取值对应的基本随机事件；
② 计算必须准确无误；
③ 注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确．
2.常见的分布列的求法：
(1) 取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有化归法、
数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽
样.
(2) 对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，
明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.
考点：随机变量及其分布列
例 1．（2021·全国·高二课时练习）2021 年世界园艺博览会于 2021 年4月到 10 月在江苏省扬
州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了 10 盆牡丹花，编号分别为 0，1，2，3，……，9，若从
任取 1 盆，则编号“大于 5”的概率是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】设编号为随机变量 ，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的
加法公式求 即可.
【详解】设任取 1 盆的编号为随机变量 ，
∴的可能取值为 0，1，2，……，9，且 ，
∴．
故选：B.
例 2．（2022·全国·高三专题练习）袋中装有一些大小相同的球，其中标号为 1 号的球1 个，
标号为 2 号的球2 个，标号为 3 号的球3 个， ，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得
号数为随机变量 ，若 ，则 ______.
【答案】9
【分析】本题为古典概型，求出袋中求的总数量，即可表示出 ，根据 即
可计算出
n
的值﹒
【详解】由题意可知，所有球的个数为 ，
由古典概型的概率公式可得 ，解得
n
＝9．
故答案为：9．
例 3．（2022·全国·高三专题练习）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为
24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的 7人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3 人做进一步的身
体检查．
①用
X
表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量
X
的分布列；
②设
A
为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件
A
发生的
概率．
【答案】（1）3 人，2 人，2 人；（2）①答案见解析；②．
【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的
方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人．
（2）①随机变量
X
的所有可能取值为 0，1，2，3．
P
（
X
=
k
）= （
k
=0，1，2，3）．
所以，随机变量
X
的分布列为
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