第05讲 二次函数的最值问题-初高中数学衔接讲与练-2020年暑期初高中数学衔接讲与练

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第五讲 二次函数的最值问题
二次函数 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已
经知道：二次函数 在自变量 取任意实数时的最值情况 (当 时，函数在 处取得最小值
，无最大值；当 时，函数在 处取得最大值 ，无最小值．
本节我们将在这个基础上继续学习当自变 量 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次
函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例 1】当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、
最小值及函数取到 最值时相应自变量 的值．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【例 2】当 时，求函数 的最大值和最小值．[来源:学科网]
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
由上述两例可以看到，二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的
纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例 3】当 时，求函数 的取值范围．
解：作出函数 在 内的图象．
可以看出：当 时， ，无最大值．
所以，当 时，函数的取值范围 是 ．
【例 4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数 )．
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 时： 当 时， ；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售
价(元)满足一次函数 ．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关系式；[来源:学科网 ZXXK][来源:Z+xx+k.Com]
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 元，
那么 件的销售利润为 ，又 ．
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