第02讲 解一元二次方程-直接开平方与配方法（解析版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）

3.0 envi 2025-03-31 20 4 886.76KB 25 页 3知币
侵权投诉
第02 讲 解一元二次方程-直接开平方与配方法
【学习目标】
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2. 运用开平方法解形如 x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
3. 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
4. 运用配方的数学思想解决代数式的最值问题.
【基础知识】
1.一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成 则 x＝.
2.一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果 n≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 且 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用
公式法来更加简单。
【考点剖析】
考点一：直接开平方法解一元二次方程的条件
例1．（2021•环江县九年级期末）若关于 x的方程 x2﹣m＝0有实数根，则 m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根据直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由 x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式 1. （2022•南岗区校级九年级月考）若（4x3﹣）2＝m+3 无实数解，则 m的取值范围是　
　 ．
【分析】根据方程无实数根，得到方程右边为负数，求出 m的范围即可．
【解答】解：∵（4x3﹣）2＝m+3 无实数解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3．故答案为：m＜﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．
考点二： 用直接开平方法解一元二次方程
例2．（2021•梁溪区校级期中）解方程：（1）x2＝9；（2）4x225﹣＝0．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）∵4x225﹣＝0，∴4x2＝25，则 x2，∴x1，x2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
变式 2.（2021•广州校级期中）解方程：（1）4（2x1﹣）236﹣＝0．（2）（y+2）2＝（3y1﹣）2．
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为 x2＝
p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．
【解答】解：（1）∵4（2x1﹣）236﹣＝0，∴（2x1﹣）2＝9，∴2x1﹣＝±3，∴x＝2或﹣1
（2）解：直接开平方，得 y+2＝±（3y1﹣）即 y+2＝3y1﹣或y+2＝﹣（3y1﹣），解得：y1，y2．
【点评】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，
把常数项移项等号的右边，化成 x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一
元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且 a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2
＝c（a，c同号且 a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分
开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，
要仔细观察方程的特点．
考点三：用配方法解一元二次方程
例3．（2022·浙江杭州市·八年级期中）解方程：
解：两边同时加_________，得 ________ ________
则方程可化为（_______）2=________
两边直接开平方得_____________
即_________或_____________
所以 __________，___________．
【答案】9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：两边同时加 9，得 9 9，则方程可化为 1，
两边直接开平方得 x+3=±1，即 x+3=1 或x+3=-1，所以 -2，-4．
故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．
【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项
的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数．
变式 3. （2021·江苏初三月考）用配方法解下列方程：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
【答案】（1） ；（2）原方程无实数根；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
【分析】（1）方程两边加上 1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上 一半的平方，再
进行配方即可求解；（3）先将方程的二次项系数化为 1，再进行配方即可求解；（4）先将方程的二次项
第02讲 解一元二次方程-直接开平方与配方法（解析版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）.docx

共25页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：初中 价格：3知币 属性：25 页 大小：886.76KB 格式：DOCX 时间：2025-03-31

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 25
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注