第02讲 函数的基本性质（单调性与最大（小）值）（解析版）-2022-2023学年高一数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第一册）

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第2讲 函数的基本性质（单调性与最大（小）值）
(重点题型方法与技巧)
目录
类型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
类型二：求函数的单调区间
角度 1：利用图象求函数的单调区间
角度 2：求复合函数的单调区间
类型三：函数单调性的应用
角度 1：利用函数的单调性比较大小
角度 2：利用函数的单调性解不等式
角度 3：利用函数的单调性求参数的取值范围
类型四：求函数的最值
类型五：二次函数的最值问题
角度 1：不含参数的二次函数最值问题
角度 2：含参数的二次函数最值问题
类型六：恒成立与能成立问题
类型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题 1．（2022·浙江省东阳中学高一开学考试）已知函数 ，
（1）判断函数 的单调性，并证明；
（2）求函数 的最大值和最小值.
【答案】（1）增函数.证明见解析；（2） ， .
【详解】（1）设 ，且 ，
所以 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ， 在 上为增函数；
（2） 在 上为增函数，则 ，
.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）判断 在 的单调性.
【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增．
【详解】设 ，
则
（1）假如 ，则
又 ，所以 故函数单调递减；
（2）假如 ，则
又 所以 故函数单调递增；
所以函数在 内单调递减，在 内单调递增．
类型二：求函数的单调区间
角度 1：利用图象求函数的单调区间
典型例题
例题 1．（2022·全国·高一课时练习）如图是函数 的图象，则函数 的减区间是（‚‚‚‚）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数 的图
象在 ， 上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为 ， ，
故选：D．
例题 2．（2022·全国·高一）函数 的单调递减区间是（‚‚‚‚‚‚‚）
A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）
【答案】B
【详解】解：函数 ，
画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是 ， ，
故选：B
同类题型演练
1．（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）下列四个函数图象中，当 时，函数值 随自变量 的
增大而减小的是（）
A．B．
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