22. 1 二次函数的图象和性质（解析版）-2021-2022学年九年级数学精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版）

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第二十二章二次函数

22.1·二次函数的图象和性质

1.二次函数：一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x 是自变量,a,b,c 分别

是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意:自变量的最高次数必须是 2,也就是说在 y=ax2+bx+c 中,a≠0,而b,c 可以为 0;含自变量的代数式是整式,而

不是分式或根式，

2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质

类别函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)

图象

开口方向向上向下

对称轴直线 x=-

顶点坐标 (-

4ac−b²

)

增减性

当x<-

时,y 随x的增大而减小;

当x>-

时，y随x的增大而增

大

当x＜-

时,y 随x的增大而增

大;

当x＞-

时,y 随x的增大而减

小;

因为抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-

,当对称轴在 y轴左侧时,-

<0,即

>0,所以 a与b同号;

反之,a 与b异号，故可记为“左边同号,右边异号(a 与b)”.

3.用待定系数法求二次函数的解析式

用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法.

形

式

内容适用条件

一

般

式

y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)，解析式的

右边是二次三项式的一般形式

已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的解祈式为一

般式,然后列出关于 a,b,e 的三元一次方程组求解

顶

点

式

y=a(x- -h)2+h:(a,h,k 是常数,a≠0),由解析式的

右边可知,抛物线的顶点坐标为(h,k)

当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时,通常

设函数解析式为顶点式,然后代入另一点的坐标，解关于

a的一元一次方程

交

点

式

|y=a(x -x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数，a≠0),其中

x1,x2是抛物线与 x轴两交点的横坐标

当已知抛物线与 x轴的两交点坐标时，通常设函数的解

析式为交点式

关于二次函数 y=x24﹣mx+3(m是常数），有以下说法：①不管 m是什么实数，该函数图象的顶点

一定在函数 y=﹣x2+3 的图象上；②若该函数图象与 x轴相交于点（a，0)，(b，0)(a<b)，并且方程 x2﹣

4mx+3﹣t=0(t是常数）的根是 x1=c，x2=d(c<d)，则一定有 c<a<b<d；③当-1≤x≤0 时，若有最小值 2，则 m=﹣

．其中正确的说法是（）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】C

【解析】解：① y=x24﹣mx+3=（x-2m）2-4m2+3，

∴图象的顶点是（2m，-4m2+3），

∵当x=2m时，y=﹣x2+3=-（2m）2+3=-4m2+3，故①正确；

②∵x24﹣mx+3﹣t=0，

∴x24﹣mx+3=t，当 t>0 时，有 c<a<b<d，

当t<0 时，a<c<d<b，故②错误；

③当-1≤x≤0 时，y=（x-2m）2-4m2+3，

当-1≤2m<0 时，若有最小值 2，-4m2+3=2，解得 m=± ，

∴m=- ；

当2m<-1 时，即 m<- ，

当x=-1 时有最小值 4+4m=2，m=- ，不符合题意；

当2m>0 时，当 x=0 时有最小值 3不符合题意③正确．

综上，①③正确；

故选：C．

若将抛物线向右平移 3个单位，再向上平移 2个单位，则所得抛物线的解析式为（

）

A．

2k+9k−8k=15，

B．

C．D．

【答案】B

【解析】解：抛物线向右平移 3个单位，解析式为；

再向上平移 2个单位，解析式为．

故选：B．

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