18.2.3 正方形的性质和判定（解析版）--2021-2022学年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》（人教版）

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18.2.3 正方形的性质和判定
学习目标
1. 理解正方形的概念；
2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；
3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经
验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；
4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养
和发展学生的演绎推理能力．
知识点一：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴
考点直击
典例分析＋变式训练
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形
分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
【典例1】（2020 秋•武功县期中）下列命题中，不正确的是（　　）
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
D．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【解答】解：A、对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，本选项说法不正确 ，
符合题意；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，本选项说法正确，不符合题意；
C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，本选项说法正确，不符合题意；
D、有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形，选项说法不正确，不符合题意；
故选：A．
【变式 1】（2020 秋•法库县期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（
　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
【答案】A
【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正
确；
B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；
C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；
D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．
故选：A．
【变式 2】（2021•高明区校级模拟）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法正
确的是（　　）
A．若 AB＝AD，则▱ABCD 是矩形
B．若 AB＝AD，则▱ABCD 是正方形
C．若 AB⊥BC，则▱ABCD 是矩形
D．若 AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形
【答案】C
【解答】解：A、若 AB＝AD，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；
B、若 AB＝AD，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；
C、若 AB⊥BC，则▱ABCD 是矩形，选项说法正确；
D、若 AC⊥BD，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；
故选：C．
【典例2】（2020 秋•宜兴市期中）如图，正方形的边长为 4，则图中阴影部分的面积为（
）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：S阴影＝ •S正方形 ABCD＝×4×4＝8．
故选：C．
【变式 1】（2015•青羊区模拟）如图，图中正方形 ABCD 的边长为 4，则图中阴影部分的
面积为（　　）
A．16 4﹣πB．32 8﹣πC．8π16﹣D．无法确定|
【答案】C
【解答】解：根据图形，得
阴影部分的面积＝2×π×224×4﹣＝8π16﹣．
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