9.5 三角形的中位线（教师版）-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

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第9章中心对称图形——平行四边形

9.5 三角形的中位线

课程标准课标解读

探究并证明三角形的中位线定理

1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线

定理。

2. 掌握中点四边形的形成规律。

知识点三角形的中位线

（一）三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

【微点拨】

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周

长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的。

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线。

（二）顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。

【微点拨】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成：

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；

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知识精讲

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。

【即学即练 1】如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D．

（1）若 DE∥AB 交AC 于点 E，证明：△ADE 是等腰三角形；

（2）若 BC＝12，DE＝5，且 E为AC 中点，求 AD 的值．

【答案】（1）见解析；（2）8

【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，

从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；

（2）根据题意结合中位线定理可先推出 AC=2DE，然后在 Rt△ADC 中利用勾股定理求解即可．

【解析】（1）证：∵在△ABC 中，AB＝AC，

∴△ABC 为等腰三角形，

∵AD⊥BC 于点 D，

∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，

∵DE∥AB 交AC 于点 E，

∴∠BAD=∠ADE，

∴∠CAD=∠ADE，

即：∠ADE=∠EAD，

∴AE=DE，

∴△ADE 是等腰三角形；

（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，

∵BC=12，

∴DC=6，

∵E为AC 中点，

∴DE 为△ABC 的中位线，

∴AB=2DE，

∴AC=AB=2DE=10，

在Rt△ADC 中，，

∴AD=8．

【即学即练 2】已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=BD．E、F分别是

AB、CD 的中点，EF 分别交 BD、AC 于点 G、H．求证：OG=OH．

【答案】见解析

【分析】取 BC 边的中点 M，连接 EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，

根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等

边即可证得．

【解析】证明：取 BC 边的中点 M，连接 EM，FM

∵M、F分别是 BC、CD 的中点

∴MF∥BD，MF=BD

同理：ME∥AC，ME=AC

∵AC=BD

∴ME=MF

∴∠MEF=∠MFE

∵MF∥BD

∴∠MFE=∠OGH

同理，∠MEF=∠OHG

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