8.5空间直线、平面的平行(学生版）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册

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8.5 空间直线、平面的平行

一、基本事实 4

文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行

图形语言：

符号语言：直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒a ∥ c

作用：证明两条直线平行

说明：基本事实 4表述的性质通常叫做平行线的传递性

解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

二、空间等角定理

1．定理

文字语言

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，

那么这两个角相等或互补

符号语言

OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或

∠AOB＋∠A′O′B′＝180°

图形语言

作用判断或证明两个角相等或互补

2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成

的锐角(或直角)相等．

三、等角定理的应用

等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是

相等还是互补，还是两种情况都有可能．

四、直线与平面平行的判定定理

文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此

平面平行

符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α

图形语言：

利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与

已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实 4等．

五、直线与平面平行的性质定理

文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那

么该直线与交线平行

符号语言：a∥α，a ⊂ β ， α ∩ β ＝ b ⇒a∥b

图形语言：

线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面

平行，再通过线面平行得到线线平行．

六、平面与平面平行的判定定理

平面与平面平行的判定定理

文字语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一

个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言 ⇒α∥β

图形语言

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求

好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线

必须相交，才能确定面面平行．

七、平面与平面平行的性质定理的应用

两个平面平行的性质定理

文字语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个

平面相交，那么两条交线平行

符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a ∥ b

图形语言

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤

(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．

(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)．

(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．

(4)由定理得出结论．

八、行问题的综合应用

(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行

推出线面平行．

(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的

灵活运用．

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