8.2 立体图形的直观图-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）(原卷版)

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8.2 立体图形的直观图
一、空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；
直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和
度量关系的图形。
二、立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的
xOy
平面内与
x
轴垂直的线段，在直观图中均与
x '
轴承
45°
或
135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于
x '
轴或
z'
轴的线段长度不变；
平行于
轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的
x
轴和
y
轴，两轴相交于
O
点，
画直观图时，把他们弧长对应的
x '
轴和
y '
轴，两轴相交于
O '
，
且使
∠x'O'y'=45 °
（或
135 °
），它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与
x
轴和
y
轴的线段，
在直观图中分别画出平行与
x '
轴或
y '
轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于
y
轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与 x轴、y轴都垂直的 z轴，直观图中与之对应的
是z′轴；
（2）平面 x′O′y′表示水平平面，平面 y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于 z轴(或在 z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；
（2）与
y
轴平行的线段长度变为原来的一半；
（3）图形改变。
“三不变”：（1）平行性不改变；
（2）与
x
轴和
z
轴平行的线段长度不改变；
（3）相对位置不改变。
三、直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为
S原
，它的直观图的面积为
S直
，则有
S直=
❑
√
2
4S原
，
S原=2❑
√
2S直
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为
a
，高为
h
，
则其面积为
S直=1
2a h
，
在直观图中，
a'=a
，
h'=1
2hsin 45°=
❑
√
2
4h
，
在直观图中，
S直=1
2a'h'=1
2∙ a ∙
❑
√
2
4h=
❑
√
2
4S原
题型一 斜二测画法辨析
【例 1】关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于 x轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度不变
B．原图形中平行于 y轴的线段，其对应线段平行于 轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系 对应的坐标系 时， 必须是 45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【变式 1-1】利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（ ）
①两条相交直线的直观图是平行直线；
②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；
③正方形的直观图是平行四边形；
④梯形的直观图是梯形.
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【变式 1-2】下列说法正确的是（ ）
A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
【变式 1-3】下列命题中正确的是( )
A．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形
B．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
题型二 已知原图画直观图
【例 2】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图．
【变式 2-1】一个菱形的边长为 4cm，一内角为 60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成
横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。
【变式 2-2】画出图中水平放置的四边形 的直观图.
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