7.4 二项分布与超几何分布 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (解析版)

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二项分布与超几何分布
1 二项分布
①
n
重伯努利试验
（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验 ,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或
阴性；
（2）将一个伯努利试验独立地重复进行
n
次所组成的随机试验称为
n
重伯努利试验,
（3）
n
重伯努利试验具有如下共同特征
第一：同一个伯努利试验重复做
n
次；
第二：各次试验的结果相互独立；
② 二项分布
(1) 概念
一般地,在
n
重伯努利试验中,设每次试验中事件
A
发生的概率为
p(0<p<1),
用
表示事件
A
发生的次数,则
P
(
X=k
)
=Cn
kpk
(
1−p
)
n−k,k =0,1,2,⋯,n
此时称随机变量
X
服从二项分布,记作
X∼B(n , p),
并称
p
为成功概率.
随机变量
X
的分布列如下
X
0
1
⋯
k
⋯
n
P
Cn
0p0qn
Cn
1p1qn−1
⋯
Cn
kpkqn−k
⋯
Cn
npnq0
(其中
q=1−p
)
由二项定理,可得
∑
k=0
n
P
(
X=k
)
=∑
k=0
n
Cn
kpkqn−k=
(
p+q
)
k=1
这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！
（2）案例(二项分布可以用下例理解下)
小明投篮命中率是
1
3,
那他投
5
次恰好中
2
次的概率
p
是 .
解析：小明投 5次,如下图,他只中了 2次,
第一次投篮 第二次投篮 第三次投篮 第四次投篮 第五次投篮
问：那他是哪两次中了？
答：共有
C5
2
可能情况(就组合问题而已).
问：那他每种情况的概率是相等的么？
答：是的,每次投篮都是独立事件,每种情况都是中 2次不中 3次,那概率是
(
1
3
)
2
(
1−1
3
)
3
.
那所求概率
p=C5
2
(
1
3
)
2
(
1−1
3
)
3
.
③ 二项分布的期望与方差
一般地,如果
X∼B(n , p),
那么
E
(
X
)
=np , D
(
X
)
=np (1−p)
.
下面对期望进行证明
证明 令
q=1−p ,
由
k Cn
k=n Cn−1
k−1,
可得
E
(
X
)
=∑
k=0
n
kCn
kpkqn−k=∑
k=1
n
n Cn−1
k−1pkqn−k=np∑
k=1
n
Cn−1
k−1pk−1qn−1−(k−1)
令
k−1=m ,
则
E
(
X
)
=np ∑
m=0
n−1
Cn−1
mpk−1qn−1−m=np
(
p+q
)
n−1=np
2 超几何分布
① 概念
一般地,假设一批产品共有
N
件,其中有
M
件次品,从
N
件产品中随机抽取
n
件(不放回),用
X
表示抽取的
n
件产
品中的次品数,则
X
的分布列为：
P
(
X=k
)
=CM
kCN−M
n−k
CN
n, k=m , m+1, m+2, …,r
其中
n , M , N ∈N¿,n ≤ N , M ≤ N , m=max
{
0,n−N+M
}
,r =min
{
n , m
}
.
如果随机变量
X
的分布列具有上式的形式,那么称随机变量
X
服从超几何分布.
② 案例(超几何分布可以用下例理解下)
10
个产品中有
6
个优品
,4
个次品,从
10
个产品中抽出
5
个恰好有
2
个次品的概率
p
是 .
解：利用古典概型的公式
P(A)= 事件 A的样本点个数
样本空间 Ω的样本点个数 ,
那所求概率事件中“
样本空间 Ω的样本点个数
”为
C10
5
(
10
个产品抽
5
个,不管有多少个次品),而“
5
个恰
好有
2
个次品”意味着“事件
A
的样本点个数”为
C6
3C4
2
(3 个优品从
6
个优品抽
,2
个次品从
4
个次品抽),所以
p=C6
3C4
2
C10
5
.
这题是超几何分布,“抽
5
个产品有
2
个次品”的潜台词可理解是“一次性拿
5
个产品,不放回抽样”的.
③ 超几何分布的期望
设随机变量
X
服从超几何分布,则
E
(
X
)
=nM
N
.
证明 令
¿max
{
0, n−N+M
}
, r =min
{
n , m
}
,
有
E
(
X
)
=∑
k=m
r
kCM
kCN−M
n−k
CN
n=M∑
k=m
rCM−1
k−1CN−M
n−k
CN
n
因为
∑
k=m
r
CM−1
k−1CN−M
n−k=CN−1
n−1,
所以
E
(
X
)
=M
CN
n∑
k=m
r
k CM−1
k−1CN−M
n−k=M CN−1
n−1
CN
n=nM
N
注：超几何分布的模型是不放回抽样
④ 二项分布与超几何分布的关联
(1) 已知
10
个产品中有
6
个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的 4件产品,次品数为
X ,
求随机变量
X
的分布列,
若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为
0.6 ,
且各次抽样的结果相互独立,则
X
服从二项分布,即
X B(4,0.6)
；
若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为
0.6 ,
但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,
不符合
n
重伯努利试验的特征,因此
X
不服从二项分布,服从超几何分布.
(2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的
n
件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对
于不放回抽样,当
n
远远小于
N
时,每抽取一次后,对
N
的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似.
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