7.1复数的概念（学生版）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册

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7.1 复数的概念

一、复数的有关概念

1．定义：我们把形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满

足i2＝－ 1 .

2．表示方法：复数通常用字母 z表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a叫做复数

z的实部，b叫做复数 z的虚部．

3．数集

(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．

(2)表示：通常用大写字母 C表示．

二、复数的分类

1．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)

2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实

部和虚部．

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，

只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．

(3)下结论：设所给复数为 z＝a＋bi(a，b∈R)，则：

①z为实数⇔b＝0；

②z为虚数⇔b≠0；

③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.

三、复数相等的充要条件

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程

组求解．

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了

条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．

四、复数与复平面内点的关系

1．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做

虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数集 C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数 z＝a＋

bi←―――→复平面内的点 Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．

反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的

点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程

(组)或不等式(组)求解．

五、复数与复平面内向量的关系

如图所示，设复平面内的点 Z表示复数 z＝a＋bi，连接 OZ，显然向量OZ由点 Z

唯一确定；反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定．

六、复数的模

1．定义：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．

2．记法：复数 z＝a＋bi的模记作| z | 或 | a ＋ b i| .

3．公式：|z|＝|a＋bi|＝.

七、共轭复数

1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共

轭复数．虚部不等于 0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

2．表示：复数 z的共轭复数用表示，即如果 z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.

反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特

别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．

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