6.4.3余弦定理、正弦定理(第3课时）（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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《6.4.3 余弦定理、正弦定理》
第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教 A 版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四
节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：
6.4 平面向量的应用
课时
内容
平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 余弦定理、正弦定理
所在
位置
教材第 38 页 教材第 40 页 教材第 42 页
新教
材
内容
分析
本节的目的是让学生加深对向
量的认识，更好地体会向量这
个工具的优越性。对于向量方
法，就思路而言，几何中的向
量方法完全与几何中的代数方
法一致，不同的只是用”向量
和向量运算“来替代”数和数
的运算“。
物理学家很早就在自己的研究中
使用向量的概念，并早已发现这
些量之间可以进行某种运算。数
学家在物理家使用向量的基础
上，对向量又进行了深入研究，
使向量成为研究数学和其他科学
的有力工具。本节将举例说明向
量在解决物理问题中的应用。
余弦、正弦定理是研究任意三
角形边角之间关系的重要开
端；用余弦、正弦定理解三角
形，是典型的用代数的方法来
解决的几何问题的类型；在日
常生活和工业生产中的应用又
十分广泛
核心
素养
培养
通过对用向量法解决平面几何
问题的学习，培养学生数学抽
象、数学运算、数学建模等数
学素养.
通过实例，引导学生用向量方法
解决物理中的速度、力学问题，
培养学生的数学建模、数学运算
的核心素养。
通过对余弦定理、正弦定理的
学习，培养学生数学抽象、数
学运算、数学建模等数学素
养。
教学
主线
平面向量的线性运算、坐标表示
学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用
解决一些三角形问题，具有了一定的基础。×学生在运
用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题
转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题,培养数学建模的核心素养；
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，提升数学运算的核心素养。
1.重点：能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。
2.难点：能将实际问题转化为解三角形问题。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔 8 848.13 米，29 029 英尺(此数据是在
国家测绘局第一大地测量队的协助下，于 1975 年测定的，1992 年又对其进行了复
测)，是地球上的第一高峰，位于东经 86.9°，北纬 27.9°.
【问题】　8 848.13 米——这个珠峰原“身高”是如何测定的？
【提示】　对于那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法，我们可能感到不可思议，简单来说，那就
是数字的测量与解三角形的应用.
（二）余弦、正弦定理应用举例
1.实际应用问题中的专用名词与术语：
（1）基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度，
应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
(2)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在
水平视线下方的角叫俯角(如图①)．
(3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如
B
点的方位角为
α
(如图②)．
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，
顺时针方向向西旋转 60°.
2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形
的数学模型.
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
④ 检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
3.三角形的面积公式：
(1)在△
ABC
中，边
BC
，
CA
，
AB
上的高分别记为
ha
，
hb
，
hc
，则
①
S
＝
aha
＝
bhb
＝
chc
；
②
S
＝
ab
sin
C
＝
ac
sin
B
＝
bc
sin
A
.
(2)三角形面积公式的其他形式：
①
S
△
ABC
＝，其中
R
为△
ABC
的外接圆半径；
②
S
△
ABC
＝2
R
2sin
A
sin
B
sin
C
，其中
R
为△
ABC
的外接圆半径；
③
S
△
ABC
＝(
a
＋
b
＋
c
)
r
，其中
r
为△
ABC
内切圆的半径；
④
S
△
ABC
＝，其中
p
＝.
拓展：三角形中有关边和角的常用性质：
(1)三角形内角和定理：在△
ABC
中，
A
＋
B
＋
C
＝π；
(2)在△
ABC
中，
a
>
b
⇔
A
>
B
⇔sin_
A
>sin
_
B
；
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