6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时）（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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《6.4.3 余弦定理、正弦定理》
第 2 课时 正弦定理 教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教 A 版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四
节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：
6.4 平面向量的应用
课时
内容
平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 余弦定理、正弦定理
所在
位置
教材第 38 页 教材第 40 页 教材第 42 页
新教
材
内容
分析
本节的目的是让学生加深对向
量的认识，更好地体会向量这
个工具的优越性。对于向量方
法，就思路而言，几何中的向
量方法完全与几何中的代数方
法一致，不同的只是用”向量
和向量运算“来替代”数和数
的运算“。
物理学家很早就在自己的研究中
使用向量的概念，并早已发现这
些量之间可以进行某种运算。数
学家在物理家使用向量的基础
上，对向量又进行了深入研究，
使向量成为研究数学和其他科学
的有力工具。本节将举例说明向
量在解决物理问题中的应用。
余弦、正弦定理是研究任意三
角形边角之间关系的重要开
端；用余弦、正弦定理解三角
形，是典型的用代数的方法来
解决的几何问题的类型；在日
常生活和工业生产中的应用又
十分广泛
核心
素养
培养
通过对用向量法解决平面几何
问题的学习，培养学生数学抽
象、数学运算、数学建模等数
学素养.
通过实例，引导学生用向量方法
解决物理中的速度、力学问题，
培养学生的数学建模、数学运算
的核心素养。
通过对余弦定理、正弦定理的
学习，培养学生数学抽象、数
学运算、数学建模等数学素
养。
教学
主线
平面向量的线性运算与数量积运算及其坐标表示
正弦定理是学生在已经系统学习了用余弦定理解三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进
行的。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还
是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的
兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养；
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素
养。
1.重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。
2.难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数
据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到
了
AB
的长度，∠
BAC
，∠
ABC
的大小，那么就可以求解出河面的宽度
CD
.古埃及人是如何利
用这些数据计算的呢？
2.探索交流，解决问题
【问题 1】　如图，在 Rt△ABC 中，，，各自等于什么？
【提示】　＝＝＝c.
【问题 2】　在一般的△ABC 中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？
【提示】　在一般的△ABC 中，＝＝仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.
还可借助外接圆或向量的投影来证明.
（二）正弦定理
1.正弦定理的表示
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝
。
拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.
2.正弦定理的变形形式　
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
【思考1】正弦定理的主要功能是什么？
提示　实现三角形中边角关系的互化.
【思考2】在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，那么 a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？
提示　不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以 a∶b∶c＝sin A∶sin
B∶sin C.
【做一做】1.在△ABC 中，下列等式总能成立的是(　　)
A.acos C＝ccos A B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
解析　由正弦定理易知，选项 D正确.
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