6.4.3余弦定理、正弦定理（第2课时）（导学案）原卷版-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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《6.4.3 余弦定理、正弦定理》

第 2 课时正弦定理导学案

地位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教 A 版（2019）

第六章平面向量及其应用

6.4 平面向量的应用

学习目标：

1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养；

2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素

养。

学习重难点：

1.重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题。

2.难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。

自主预习：

1. 本节所处教材的第页.

2. 复习——

①　余弦定理：

②　三角形的形状：

3. 预习——

正弦定理：

变形公式：

新课导学

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数

据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到

了

的长度，∠

BAC

，∠

ABC

的大小，那么就可以求解出河面的宽度

.古埃及人是如何利

用这些数据计算的呢？

2.探索交流，解决问题

　【问题 1】　如图，在 Rt△ABC 中，，，各自等于什么？

【问题 2】　在一般的△ABC 中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？

（二）正弦定理

1.正弦定理的表示

(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所的的相等，即

。

拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.

2.正弦定理的变形形式　

设三角形的三边长分别为 a，b，c，外接圆半径为 R，正弦定理有如下变形：

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.

(4)＝＝＝.

【思考 1】正弦定理的主要功能是什么？

【思考 2】在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，那么 a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？

【做一做】1.在△ABC 中，下列等式总能成立的是(　　)

A.acos C＝ccos A B.bsin C＝csin A

C.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A

2.在△ABC 中，a＝7，c＝5，则 sin A∶sin C的值是(　　)

A. B. C. D.

3.已知△ABC 外接圆半径是 2，A＝60°，则 BC 的长为________.

（五）典型例题

1.已知两角及一边解三角形

【例 1】　已知在△ABC 中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a，b和B.

【类题通法】1.正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的

三个就可以求另外一个.

2.解决已知两角及一边类型的解题方法：

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，

最后由正弦定理求第三边．

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两

边．

【巩固练习 1】　在△ABC 中，已知 B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.

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