6.3.1平面向量基本定理（导学案）原卷版2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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《6.3.1 平面向量基本定理》导学案
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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教 A 版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标：
1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，培养数学抽象的核心素养；
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养；
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，提升数学运算的核心素养。
学习重难点：
1.重点：了解平面向量基本定理及其意义；
2.难点：了解向量基底的含义；
在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量。
自主预习：
1. 本节所处教材的第 页.
2. 复习——
①　力的分解：
②　向量的加减法及数乘运算：
3. 预习——
基底：
平面向量基本定理：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它
们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐
谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.
在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
2.探索交流，解决问题
【想一想 1】在物理中，如图，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力也可以分解为两
个不同方向的力.那么对于平面内的任意向量 a和两个非零向量 e1,e2，能否将向量 a按e1,e2的方向分解?
如果能，分解方法唯一吗？
【想一想 2】表示的依据是什么？
（二）平面向量基本定理
【探究 1】那么对于平面内的任意向量
a
和两个不共线向量
e
1，
e
2，能否将向量
a
按
e
1，
e
2的方向分解？
如果能，分解方法唯一吗？　　　
【探究 2】当 是零向量时， 还能用 表示吗？
【探究 3】若向量 与 共线，那么 还能用 这种形式表示吗？
1.平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量 a，
有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝
。
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线
是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个
向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的
基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底 e1,e2线性表示.(　　)
(2)同一向量用两组不同的基底表示时,表示方法是相同的.(　　)
(3)若a，b不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．(　
)
（三）典型例题
1.基底概念的理解
例1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
【类题通法】对基底的理解
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