6.3.1平面向量的基本定理(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)(原卷版).

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6.3.1 平面向量的基本定理
本节课知识点目录：
1、平面向量基本定理概念；
2、基底理解：坐标系坐标轴合力。
3、基地基础：向量平行和绕三角形（基础）
4、基底：绕三角形“中线型”
5、基底：然三角形“中线上的中线型”
6、基底：“不正常基底型”
7、等和线与三点共线
8、向量最值范围
9、三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
10、联赛、联考与自主招生题选
一、平面向量基本定理概念
1.平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有
且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
【典型例题】
【例1】下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【例2】．设 是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【例3】设 ， 是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【例4】如果 是平面 α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组
基底的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【例5】设向量 与 不共线，若 ，则实数 的值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．3，0 D．3，4
-----典例精讲
【例6】设向量 ，若用 表示 ，则 ________.
【对点实战】
1.设 是平面内两个不共线的向量，则向量 可作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2.设 是平行四边形 两对角线的交点，给出下列向量组：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；
④ 与 .其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
3.下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底 中， ， 一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若 ，则 .
C．若单位向量 ､的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量是 .
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
4.给出以下说法，其中不正确的是（ ）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则存在实数 ，使 ；
C．若 ， 是非零向量， ，那么 ；
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底.
5.已知向量 是一个基底，实数 满足 ，则 _________．
6.若 是平面 内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A． 不可以表示平面 内的所有向量；
B．对于平面 中的任一向量 ，使 的实数 有无数多对；
C．若 均为实数，且向量 与 共线，则有且只有一个实数 ，使
；
D．若存在实数 使 ，则 .
二、基底实战理解：就是坐标轴坐标系
1.共起点基底，理解成坐标轴。不一定是垂直的坐标轴。（可补充球面航海经纬度增加类比理解）
2.两基底所在直线区域，可以按照基底向量剪头方向对照直角坐标系四个象限。
3第3题，原解法涉及到老教材的“线性规划”，根据其概况，建议类比即将学习的圆内点和圆外点知识 ，
适当的扩展一下。
【典型例题】
【例1】如图，平面内的两条相交直线 OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．
设=m+n，且点 P落在第Ⅲ部分，则实数 m，n满足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【例2】向量 ，如图所示，则 等于（ ）
A． B． C．D．
【例3】如图，在 中，点 是线段 及 、 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意
一点，且 ，则在直角坐标平面上，实数对 所表示的区域在直线 的右下侧部
分的面积是（ ）
A．B．C．D．不能求
【例4】设 ， ， 是平面内共线的三个不同的点，点 是 ， ， 所在直线外任意-点，且满足
，若点 在线段 的延长线上，则（ ）
A． ， B． ， C．D．
【例5】．已知 E，F分别是 的边 ， 的中点，若 ，则点 P在四边形 内
（包括边界）的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
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