5.3 导数与函数的单调性 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)

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导数与函数的单调性
1 函数单调性与导数
在某个区间
(a , b)
内，若
f ' (x)>0
，则函数
y=f(x)
在这个区间内单调递增；
若
f ' (x)<0
，则函数
y=f(x)
在这个区间内单调递减．
2 若函数
y=f(x)
在某个区间
(a , b)
内单调递增，则
(含等号)恒成立，但不存在一区间
(c , d)⊆(a , b)
内使得
f'
(
x
)
=0
；
解释 假如存在一区间
(c , d)⊆(a , b)
内使得
f'
(
x
)
=0
，那原函数
y=f(x)
在区间
(c , d)
内恒等于一个常数，
即
f
(
x
)
=m¿
是个常数
¿
，则原函数不可能在
(a , b)
内单调递增.
函数
y=f(x)
在某个区间
(a , b)
内单调递减有类似结论！
【题型一】 不含参函数的单调性
【典题 1】函数
f(x)
的定义域为
R
，且图象如图所示，则不等式
xf '(x)<0
的解集为 .
【解析】由图可知，
f(x)
在
(－∞ ,−1
2)
和
(1
2,1)
上单调递增，在
(−1
2,1
2)
上单调递减，
∴
当
x∈(－∞ ,−1
2)∪(1
2,1)
时，
f ' (x)>0
；当
x∈(−1
2,1
2)
时，
f ' (x)<0
．
∵
不等式
xf '(x)<0
可等价于
{
x>0
f '(x)<0
或
{
x<0
f '(x)>0
，
∴
当
x>0
时，有
x∈(−1
2,1
2)
，即
x∈(0,1
2)
；
当
x<0
时，有
x∈(－∞ ,−1
2)∪(1
2,1)
，即
x∈(－∞ ,−1
2)
，
综上所述，不等式的解集为
(－∞ ,−1
2)∪(0,1
2)
．
【点拨】由原函数
y=f(x)
图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数
f ' (x)
的正负性(导函数的穿线图)，
再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化.
【典题 2】若函数
f(x)=－x3+a x2+4x
在区间
(0,2)
上单调递增，则实数
a
的取值范围为 .
【解析】
f(x)=－x3+a x2+4x
，则
f'
(
x
)
=－3x2+2ax +4
，
若
f(x)
在区间
(0,2)
上单调递增，则
－3x2+2ax+4≥0
在
(0,2)
恒成立
(¿)
，
方法一 分离参数法
要
(¿)
成立等价于
a ≥ 3x
2−2
x
在
(0,2)
恒成立，
令
g(x)= 3x
2−2
x
，
x∈(0,2)
，
则
g ' (x)= 3
2+2
x2>0
，
g(x)
在
(0,2)
递增，
故
g(x)<g(2)=2
，
故
a ≥ 2
，
方法二 数形结合法
令
t
(
x
)
=－3x2+2ax +4
，它是开口向下，过定点
(0,4)
，
结合图像可知若要
(¿)
成立，只需要
t
(
2
)
≥0⇒−12+4a+4≥0⇒a ≥2
.
【点拨】
① 若函数
y=f(x)
在某个区间
(a , b)
内单调递增，则
∀x∈
(
a , b
)
, f '
(
x
)
≥0
(含等号)恒成立，但不存在一区
间
(c , d)⊆(a , b)
内使得
f'
(
x
)
=0
；
② 处理恒成立问题，方法多样，比如直接转化为最值问题，利用分离参数法转化为最值问题，数形结合等.
【典题 3】 已知函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，其导函数为
f ' (x)
，且对任意实数
x
都有
f(x)+f ' (x)>1
，
则不等式
exf(x)>ex－1
的解集为 .
【解析】设
g(x)=ex[f(x)－1]
，
则
g'
(
x
)
=ex[f(x)－1]+exf'
(
x
)
=ex
[
f
(
x
)
+f'
(
x
)
−1
]
>0
．
故
g(x)
在
R
上单调递增，
因为
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，所以
f(0)=0
，
所以
g(0)=－1
，
而不等式
exf
(
x
)
>ex－1⇒ex
[
f
(
x
)
－1
]
>−1
，即
g(x)>g(0)
，
又
∵g(x)
在
R
上单调递增，
∴x>0
．
【点拨】
本题属于构造函数题型，如何构造呢？角度有二
① 从已知条件
f
(
x
)
+f'
(
x
)
>1⇒f
(
x
)
+f'
(
x
)
−1>0
入手，
思考
[
某函数 g(x)
]
'
¿f
(
x
)
+f'
(
x
)
−1
，
这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中
c
是常数)：
(1)
f'
(
x
)
+h '(x)
形式，构造函数
g
(
x
)
=f
(
x
)
+h(x)+c
；
(2)
xf '(x)+f(x)形式 ， 构造函数 g
(
x
)
=xf
(
x
)
+c
；
(3)
xf '(x)+nf (x)形式 ，构造函数 g
(
x
)
=xnf
(
x
)
+c
；
(4)
xf '(x)－f(x)形式， 构造函数 g
(
x
)
=f(x)
x+c
(5)
f'
(
x
)
+f(x)形式 ， 构造函数 g
(
x
)
=exf
(
x
)
+c
；
(6)
f'
(
x
)
−f(x)形式 ，构造函数 g
(
x
)
=f
(
x
)
ex+c
；
形式多样，不需要死记，要灵活运用，本题可利用第(5)个例子.
② 从 求 证 入 手 ， 要 求 不 等 式
exf(x)>ex－1
， 变 形 得
ex
[
f
(
x
)
−1
]
+1>0
， 想 到 构 造 函 数
g
(
x
)
=ex
[
f
(
x
)
−1
]
+1
也不难.
【典题 4】求函数
f(x)= x2−1
2−xlnx
的单调区间.
【解析】函数
f(x)
的定义域是
(0,+∞)
， (注意定义域)
由
f(x)= x2−1
2−xlnx
，得
f ' (x)=x－lnx －1
，
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