4.4 数学归纳法 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)

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数学归纳法

1 数学归纳法的概念

一般地，证明一个与正整数

有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当

n=n0(n0∈N¿)

时命题成立；

(2)(归纳递推)以“当

n=k(k∈N¿, k ≥ n0)

时命题成立”为条件，推出“当

n=k+1

时命题也成立”；

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

开始的所有正整数

都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.

2 数学归纳法的运用

数学归纳法证明的对象是与正整数

有关的命题，比如：与正整数

有关的等式或不等式的证明，求数列

的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.

在运用数学归纳法证明时要注意以下几点

① 第一步归纳奠基中的

不一定是

；

② 当证明从

n=k

到

n=k+1

时，所证明的式子不一定只增加一项；

③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在

n=k+1

时的式子中凑出

n=k

的式子(确定两个

式子的“差项”；二是“凑”结论，明确

n=k+1

时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法

等，不等式证明中还会用到放缩法)；

④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.

【题型一】对数学归纳法的理解

【典题 1】用数学归纳法证明“

2n>n+2

对于

n ≥ n0

的正整数

都成立”时，第一步证明中的起始值

应取

【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当

取第一个值时命题成立；

结合本题，要验证

n=1

时，左边

¿21=2

，右边

¿1+2=3

，

2n>n+2

不成立，

n=2

时，左边

¿22=4

，右边

¿2+2=4

，

2n>n+2

不成立，

n=3

时，左边

¿23=8

，右边

¿3+2=5

，

2n>n+2

成立，

n=4

时，左边

¿24=16

，右边

¿4+2=6

，

2n>n+2

成立，

…

因为

n>2

成立，所以

2n>n+2

恒成立．

故

n0=3

【点拨】数学归纳法第一步中的

不一定是

，一般是满足题意的最小的正整数.

【典题 2】用数学归纳法证明命题“当

是正奇数时，

xn+yn

能被

x+y

整除”，在第二步时，正确的证法是

(　　)

A．假设

n=k(k∈N¿)

，证明

n=k+1

命题成立

B．假设

n=k

(

是正奇数)，证明

n=k+1

命题成立

C．假设

n=2k+1(k∈N¿)¿

，证明

n=k+1

命题成立

D．假设

n=k

(

是正奇数)，证明

n=k+2

命题成立

【解析】

A、B、C

中，

k+1

不一定表示奇数，只有

中

为奇数，

k+2

为奇数．故答案：

【点拨】注意第二步中不一定是

n=k+1

，要注意题目对

的要求.

【典题 3】用数学归纳法证明：

1+1

2+1

3+⋯+1

2n−1>n

时，在第二步证明从

n=k

到

n=k+1

成立时，左边增加的项数是 .

【解析】用数学归纳法证明

1+1

2+1

3+⋯+1

2n−1>n

的过程中，

假设

n=k

时，左侧

¿1+1

2+1

3+⋅⋅ ⋅+1

2k−1

，

当

n=k+1

成立时，左侧

¿1+1

2+1

3+⋅⋅ ⋅+1

2k−1+1

2k+⋅⋅⋅+1

2k+1−1

，

∴

从

n=k

到

n=k+1

时，左边增加

2k+⋅⋅⋅+1

2k+1−1

，

2k+1－1－2k+1=2k

项．

【点拨】数学归纳法第二步中从

n=k

到

n=k+1

成立时，增加的项数不一定是只有

项，要式子变化的规律

去判断，这在证明题中有助于关于“两个凑”的思考.

巩固练习

1 (★) 用数学归纳法证明不等式

2+1

3+1

4+⋯+1

2n−1>n

2−1(n∈N¿，n>1)

时，以下说法正确的是(　　)

A．第一步应该验证当

n=1

时不等式成立

B．从“

n=k

到

n=k+1

”左边需要增加的代数式是

C．从“

n=k

到

n=k+1

”左边需要增加

(2k−1－1)

项

D．从“

n=k

到

n=k+1

”左边需要增加

2k−1

项

【答案】D

【解析】由于

n∈N¿, n>1

，

所以第一步应该是验证当

n=2

时不等式成立，

从“

n=k

到

n=k+1

”左边需要增加的代数式是

2k−1+1+1

2k−1+2+⋅⋅⋅+1

，共

2k−1

项．

故选：

．

2 (★)用数学归纳法证明

2n≥ n2(n ≥ 4)

时，第二步应假设(　　)

A．

n=k ≥ 2

时，

2k≥ k2

B．

n=k ≥3

时，

2k≥ k2

C．

n=k ≥ 4

时，

2k≥ k2

D．

n=k ≥5

时，

2k≥ k2

【答案】C

【解析】根据证明的结论，

n ≥ 4

，

故第二步的假设应写成：假设

n=k , n ≥ 4, k ∈N¿

时命题正确，即

2k≥ k2

正确．

故选：

．

3(★) 用数学归纳法证明“

n+1+1

n+2+1

n+3+⋅⋅⋅+1

3n+1>1

”时，假设

n=k

时命题成立，则当

n=k+1

时，

左端增加的项为(　　)

A．

3k+4

B．

3k+4−1

k+1

C．

3k+2+1

3k+3+1

3k+4

D．

3k+2+1

3k+4−2

3(k+1)

【答案】D

【解析】

n=k

时，不等式的左边等于

k+1+1

k+2+1

k+3+⋅⋅⋅+1

3k+1

，且

k∈N¿

，

当

n=k+1

时，不等式的左边等于

k+2+1

k+3+⋅⋅⋅+1

3k+1+1

3k+2+1

3k+3+1

3k+4

，

当

n=k+1

时，不等式的左边比

n=k

时增加

3k+2+1

3k+3+1

3k+4−1

k+1=1

3k+2+1

3k+4−2

3(k+1)

．

故选：

．

4(★) 用数学归纳法证明“

(3n+1)×7n－1(n∈N¿)

能被

整除”，在假设

n=k

时命题成立之后，需证明

n=k+1

时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项(　　)能被

整除．

A．

3×7k+6

B．

3×7k+1+6

C．

3×7k－3

D．

3×7k+1－3

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