4.2.1 等差数列的概念（精练）（解析版）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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4.2.1 等差数列的概念（精练）

【题组一等差数列的判断】

1．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知，，成等差数列，则（）

A．，，一定成等差数列

B．，，可能成等差数列

C．，，（为常数）一定成等差数列

D．，，可能成等差数列

【答案】BCD

【解析】对于 A，取，，，则，，，

此时，，不成等差数列，故 A错误；

对于 B，令，则，

此时，，是公差为 0的等差数列，故 B正确；

对于 C，∵ ，，成等差数列，∴ （为常数）．

又，，

∴（为常数），

∴，，（为常数）为等差数列，故 C正确；

对于 D，令，则，

此时，，是公差为 0的等差数列，故 D正确．

故选：BCD

2．（2021·全国高二专题练习）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是

等差数列．（______）

【答案】错误

【解析】如果一个数列满足（为常数），那么为等差数列，

以上为等差数列的定义，注意不随的变化而变化，即同一个常数，

故答案为：错误.

3．（2021·全国高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列？① ；② .

【答案】①等差数列；②不是等差数列.

【解析】对于①，对任意的，（常数），

所以，数列为等差数列；

对于②，对任意的，（不是常数），

所以，数列不是等差数列.

【题组二等差数列的基本量】

1．（2021·河南高二月考）在等差数列中，已知，，则 ___________.

【答案】

【解析】设的公差为，因为，，所以，解得：，故答案为： .

2．（2021·新和县实验中学高二期末）等差数列的第项是______．

【答案】

【解析】设这个等差数列为，则，，所以 .故答案为：

3．（2021·全国高二专题练习）已知等差数列{an}的首项为 3，公差为 2，则 a10＝__．

【答案】21

【解析】∵等差数列{an}的首项为 3，公差为 2，∴a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．故答案为：21．

4．（2021·全国高二专题练习）在等差数列{an}中，已知 a4＝8，a6＝12，则数列{3an＋4}的第 2 019 项为__

_________.

【答案】12118

【解析】设{an}的公差为 d，则 d＝＝＝2，a4＝a1＋3d，所以 a1＝2，

由等差数列的性质知{3an＋4}是以 3a1＋4为首项，3d为公差的等差数列，

所以 3an＋4＝(3×2＋4)＋6(n－1)＝6n＋4.所以第 2 019 项为 6×2 019＋4＝12 118.故答案为：12118.

5．（2021·全国高二专题练习）等差数列{ }中，＝3，＝6，则＝_____.

【答案】7

【解析】解法一：设等差数列{an}的公差为 d，

由题意，得，∴ .∴a10＝a1＋9d＝＋＝7.

解法二：设等差数列{an}的公差为 d，∴a8－a2＝6d＝3，∴d＝.∴a10＝a8＋2d＝6＋2× ＝7.故答案为：7.

6．（2021·全国）在下表所示的 5×5 正方形的 25 个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，

问标有*号的空格应填的数是__________．

186

103

【答案】

【解析】记 aij 为第 i行第 j列的格中所填的数，则 a52＝x，a41＝y．

由第 3行得，由第 3列得 a33＝2×103－2x，所以 2x＋y＝113．①

由第 1列得 a21＝3y，则由第 2行得 a23＝2×74－3y，a33＋103＝a23＋2x，∴a23＝3×103－4x．由第 3列得 a23

＝3×103－4x．所以 2×74－3y＝3×103－4x，即 4x－3y＝161，②

解①②，得 x＝50，y＝13．所以 a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，

，故标有*号的空格应填 142．

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