3.3.2 抛物线的简单几何性质(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）

3.0 envi 2025-04-01 18 4 1.27MB 17 页 3知币

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3.3.2 抛物线的简单几何性质

一、四种抛物线的几何性质

标准方程 p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离

图形

范围

对称轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径

二、焦半径公式

设抛物线上一点的坐标为，焦点为 .

1、抛物线， .

2、抛物线， .

3、抛物线， .

4、抛物线， .

【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应

于不同的焦半径公式.

三、直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.

2、以抛物线与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，

若，直线与抛物线有两个交点；

若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率存在.

设直线，抛物线，

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

即二次方程（或）解的个数.

①若，

则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.

四、直线与抛物线相交弦长问题

1、一般弦长

设为抛物线的弦，，，弦 AB 的中点为 .

（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.

（2）,

推导：由题意，知，① ②

由①-②，得 .故，即 .

（3）直线的方程为 .

2、焦点弦长

如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点

，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，

根据抛物线的定义有，，

故.

又因为是梯形的中位线，所以，

从而有下列结论；

（1）以为直径的圆必与准线相切.

（2）(焦点弦长与中点关系)

（3）.

（4）若直线的倾斜角为，则 .

（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即， .

（6）为定值 .

题型一由抛物线解析式研究其几何性质

【例 1】对抛物线，下列描述正确的是（）

A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为

【答案】A

【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，

则该抛物线开口向上，焦点坐标为 .故选：A.

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