3.2.2 双曲线的简单几何性质（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册) （解析版）

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3.2.2 双曲线的简单几何性质
一、双曲线的简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
性质 图形
性质
范围 x≤－a或 x≥a，y∈y≤－a或 y≥a，x∈
对称
性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a
，
0)，A2(a
，
0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴实轴：线段 A1A2，长：；虚轴：线段 B1B2，长：；
半实轴长：，半虚轴长：
离心
率e＝∈(1，＋∞)
渐近
线y＝±x y＝±x
二、等轴双曲线
在双曲线中，若 ，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
1、离心率：等轴双曲线的离心率为： ；
2、渐近线：（1）等轴双曲线的渐近线为： ；
（2）等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为 45°和135°.
三、直线与双曲线的位置关系判断
将双曲线方程 与直线方程 联立消去
得到关于 的一元二次方程 ，
1、当 ，即 时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点；
2、当 ，即 时，设该一元二次方程的判别式为 ，
若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
四、弦长公式
若直线 与双曲线 （ ， ）交于 ， 两点，
则 或 （ ）．
题型一 由双曲线的方程求几何性质
【例 1】求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1）实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
（2）实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
（3）实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
（4）实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
【解析】（1）由双曲线的方程 ，可化为 ，
此时双曲线的焦点在 轴上，且 ，所以 ，
可得双曲线的实轴长为 ，虚轴的长为 ，
顶点的坐标 和 .
（2）由双曲线的方程 ，可化为 ，
此时双曲线的焦点在 轴上，且 ，所以 ，
可得双曲线的实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
（3）由双曲线的方程 ，可化为 ，
此时双曲线的焦点在 轴上，且 ，所以 ，
可得双曲线的实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
（4）由双曲线的方程 ，可化为 ，
此时双曲线的焦点在 轴上，且 ，所以 ，
可得双曲线的实轴长为 ，虚轴的长为 ，顶点的坐标 和 .
【变式 1-1】双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线 的顶点为 ，
渐近线方程为 ，即 ，
所以顶点到渐近线的距离为 .故选：C.
【变式 1-2】关于双曲线 与 ，下列说法中错误的是（ ）
A．它们的焦距相等 B．它们的顶点相同
C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
其焦距为 ，顶点坐标为 ，
离心率为 ，渐近线方程为 ；
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