1.4.2 第2课时 夹角问题（解析版）-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.0 envi 2025-04-01 34 4 7.99MB 61 页 3知币
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第2课时　夹角问题
知识点一　两个平面的夹角
平面 α与平面 β的夹角：平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90° 的二面角称为
平面 α与平面 β的夹角．
知识点二　 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直
线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为 θ，其方向向量
分别为 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面
所成的角
设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线 AB 的
方向向量为 u，平面 α的法向量为 n，
则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的
夹角
设平面 α与平面 β的夹角为 θ，平面 α，β的法
向量分别为 n1，n2，则 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|
＝
题型一、两条异面直线所成的角
1．在平行六面体 中， ， ， ， ，则 与
所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】 ，
则 ，
，
，
，
，
，
所以 ，
故选：D
2．如图，在正三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点.设D是线段 上的（包括
两个端点）动点，当直线 与 所成角的余弦值为 ，则线段 的长为_______.
【答案】
【详解】如图以 为坐标原点建立空间直角坐标系：
则 设 ，
则 ，设直线 与 所成角为
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
故答案为： ．
3．如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， 面 ，
，点 为线段 中点
(1)求证： 面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
【详解】(1)证明： 由 面 建立如图所示的直角坐标系，以 A点为坐标原点，分别以 ，垂直于 AD 以
及 为方向建立 轴，如图所示:
由底面是等腰梯形以及 可知： ， ，
，
又由点 为线段 中点，可知
， ，
设 为平面 的法向量，故可知：
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