【新教材精创】1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关

系（2）

本节课选自《2019 人教 A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主

要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系，主要是垂直。

在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的

坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，

为培养学生思维提供了更广阔的空间。

课程目标学科素养

A. .能用向量语言表述直线与直线、直线

与平面、平面与平面的垂直关系.

B.能用向量方法证明必修内容中有关直

线、平面垂直关系的判定定理.

C.能用向量方法证明空间中直线、平面的

垂直关系.

1.数学抽象：向量语言表述垂直关系

2.逻辑推理：直线、平面垂直关系的判定；

3.数学运算：空间向量的坐标运算解决直线、平面的

垂直关系.

1.教学重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系

2.教学难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系

多媒体

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平

面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之

间有什么关系？

二、探究新知

空间中直线、平面垂直的向量表示

位置关系向量表示

线线垂直

设直线 l1,l2的方向向量分别为 μ1,μ2,则

l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0

线面垂直

设直线 l的方向向量为 μ,平面 α的法向量

为n,则

l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn

面面垂直

设平面 α,β 的法向量分别为 n1,n2,则

α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0

类比直线、平

面平行的向量表

示，提出运用向量

解空间中的垂直问

题，引导学生回顾

空间中线线、线

面、面面的平行问

题的解法方法，类

比学习空间中的垂

直问题，进一步体

会空间几何问题代

数化的基本思想

1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打

“×”.

(1)若两条直线的方向向量的数量积为 0,则这两条直线一定垂直相交.

(

)

(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的

方向向量的数量积为 0.(

)

(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的

直线的方向向量垂直.(

)

(4)若两平面 α,β的法向量分别为 u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面 α,β互

相垂直.(

)

答案: (1)×

(2)√

(3)×

(4)√

2.设平面 α的法向量为(1,2,-2),平面 β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(

)

A.2 B.-5 C.4 D.-2

答案:B　

解析:因为 α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得 k=-5.

例1如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩

形,PA=AB=1,点F是PB 的中点,点E在边 BC 上移动.求证:无论点 E

在边 BC 上的何处,都有 PE⊥AF.

思路分析只需证明直线 PE 与AF 的方向向量互相垂直即可.

证明:(方法 1)以A为原点,以AD,AB,AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴

建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),

由基本问题出

发，让学生掌握运

用空间向量解决空

间中的垂直问题，

实现将立体几何问

题向量化。发展学

生逻辑推理，数学

抽象和数学运算的

核心素养。

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