[26752054]精讲练05 垂径定理（基础）-2020-2021学年九年级数学寒假精讲练专题（沪教版）

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精讲练 05 垂径定理（基础）

【学习目标】

1.理解圆的对称性；

2.掌握垂径定理及其推论；

3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在

这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分

的弦不能是直径）

【精讲例题】

类型一、应用垂径定理进行计算与证明

　 1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB＝6 cm，OD＝4 cm，则 DC 的长为（）

A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm

【思路点拨】

欲求 CD 的长，只要求出⊙O 的半径 r 即可，可以连结 OA，在 Rt△AOD 中，由勾股定理求出 OA.

【答案】D；

【解析】连 OA，由垂径定理知

13cm

AD AB 

，

所以在 Rt△AOD 中，

2 2 2 2

4 3 5AO OD AD    

（cm）．

所以 DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：

【变式】如图，⊙O 中，弦 AB⊥弦 CD 于 E，且 AE=3cm，BE=5cm，求圆心 O 到弦 CD 距离。

【答案】

1cm

．

2．（巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧 AC 的中点，OE 交弦

AC 于点 D，若 AC=8cm，DE=2cm，求 OD 的长．

【答案与解析】

解：∵E为弧 AC 的中点，

OE AC∴ ⊥ ，

AD=∴AC=4cm，

OD=OE DE=∵ ﹣ （OE 2﹣ ）cm，OA=OE，

∴在Rt OAD△中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE 2﹣ ）2+42，

又知 0A=OE，解得：OE=5，

OD=OE DE=3cm∴﹣ ．

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.

举一反三：

【变式】已知：如图，割线 AC 与圆 O 交于点 B、C，割线 AD 过圆心 O. 若圆 O 的半径是 5，且

30DAC 

 

，

AD=13. 求弦 BC 的长.

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