[26473028]精讲练02 圆的基本概念和性质（提高）-2020-2021学年九年级数学寒假精讲练专题（沪教版）

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精讲练 02 圆的基本概念和性质（提高）

【学习目标】

1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；

2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关

的概念，理解概念之间的区别和联系；

3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1. 圆的定义

(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成

的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆

O”．

要点诠释：

　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.

要点诠释：

　 ①定点为圆心，定长为半径；

　　②圆指的是圆周，而不是圆面；

　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球

面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质

　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对

称中心是圆心；

　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是

圆的对称轴.

要点诠释：

　　①圆有无数条对称轴；

　 ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆

的对称轴是直径所在的直线”.

3.两圆的性质

　两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心

线）.

要点二、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

要点诠释：

　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O的直径，CD 是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

　　证明：连结 OC、OD

　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当 CD 过圆心 O时，取“=”号)

　　　　　∴直径 AB 是⊙O中最长的弦.

2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.

　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点诠释：

　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点诠释：

　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

② 圆中两平行弦所夹的弧相等.

【精讲例题】

类型一、圆的定义

1．已知：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，求证：点 A、B、C、D 在以点 O 为圆心的同

一个圆上.

【答案与解析】

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OC=OB=OD，

∴点 A、B、C、D 在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上.

【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.

举一反三：

【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）

A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形

【答案】C.

2．（海口校级月考）如图所示，AB 为⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，AB、CD 的延长线交于点 E，

已知 AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC 的度数．

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