福建省厦门市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 答案

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高一数学试题答案 第1页（共 8页）
厦门市 2023-2024 学年度第二学期高一年级质量检测
数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．D 2．Ｃ 3．B 4．B 5．A 6．D 7．A 8．B
第8题提示：
11
OE =e
，
22
OE =e
，
OA =a
，因为
120=ee
，
12
| | | | 1==ee
，
所以
12 2EE =
．因为
1
−ae
，
2
π
3
− =ae
，所以
．过
1
E
，
A
，
2
E
的圆
C
的半径
1
6
3
r E C==
，且
26
26
OC =+
，则
||OA
的最大值为
26
2
OC r +
+=
，所以选 B．
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．BC 10．ACD 11．ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．
2
13．
π
3
14．①
6
②
2
2
第14 题提示：（1）在
ABC△
中，设
,,A B C
对应的边分别为
,,abc
，
因为
D
为
BC
的中点，所以
2
a
DC =
．
因为
AE
为
BAC
的平分线，
2AB AC=
，所以
2
AB BE
AC EC
==
，所以
23
BE a
EC ==
，
所以
6
a
DE DC EC= − =
，
因为
11
6
ADE ABC
SS==
△ △
，所以
6
ABC
S=
△
．
（2）在
ABC△
中，
1sin 6
2
2
bc A
bc
=
=
，
，所以
2
2
24
sin
6
sin
bA
cA
=
=
，
，
因为
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
24 6 24cos 30 24cos
sin sin sin sin
AA
A A A A
−
= + − =
2 2 2 2
30(sin cos ) 24(cos sin )
2 2 2 2
2sin cos
22
A A A A
AA
+ − −
=
3
27 tan 18
2tan 2
A
A
= + 
，
当且仅当
1
tan 23
A=
时，等号成立，所以
32a
，所以
2
2
DE
．
{#{QQABDY6QoggAApAAAQgCAQEICEMQkBEAAYgGhBAMsAIAgRFABAA=}#}
高一数学试题答案 第2页（共 8页）
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．本题考查样本的数字特征、样本估计总计等基本知识；考查数据处理、运算求解、推理
论证等数学能力；考查样本估计总体、化归与转化等思想．本题满分 13 分．
解：（1）依题意得
3s=
，
( , ) (147,153)x s x s− + =
，
( 2 , 2 ) (144,156)x s x s− + =
，
共有 8个数据落在
( , )x s x s−+
内，
866.7% 65%
12 
，............................................. 2分
所以有
65%
产品的探测距离在
( , )x s x s−+
内，
所以升级改造成功； .......................................................................................................... 3分
共有 10 个数据落在
( 2 , 2 )x s x s−+
内，
10 83.3% 95%
12 
， ...................................... 4分
所以没有
95%
产品的探测距离在
( 2 , 2 )x s x s−+
内，
所以升级改造成功，但效果不显著． .............................................................................. 5分
（2）依题意，需剔除数据
10 144x=
，
12 156x=
， ........................................................ 6分
因为样本平均数
150x=
，方差
29s=
，
所以
12
1
1150
12 i
i
x
=
=
，
12
2
1
1( 150) 9
12 i
i
x
=
−=
， ................................................................... 8分
所以
12
1
1800
i
i
x
=
=
，
12
2
1
( 150) 108
i
i
x
=
−=
， ....................................................................... 9分
所以新样本的平均数
12
10 12
1
()
1800 (144 156) 150
10 10
i
i
x x x
x=
−+ −+
= = =
， .................. 11 分
新样本的方差为
12
2 2 2 2
10 12
1
1 1 18
[ ( 150) ( 150) ( 150) ] (108 36 36)
10 10 5
i
i
s x x x
=
= − − − − − = − − =
． ......... 13 分
16．本题考查样本空间、古典概型、概率的基本性质、相互独立事件、频率与概率等基本数
学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查化归与转化、分类讨论等数学思想．本
题满分 15 分．
解：（1）该试验的样本空间为
 
(1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (1,0,0) , (0,1,1) , (0,1,0) , (0,0,1) , (0,0,0)=
，
共有
8
个样本点． .............................................................................................................. 4分
样本点
(1,1,1)
的概率为
3
0.7
，样本点
(0,0,0)
的概率为
3
0.3
，这两个样本点的概率不相等，
所以这个试验不是古典概型． .......................................................................................... 6分
（2）产生 20 组随机数相当于做了 20 次重复试验，其中事件
A
发生了 18 次，
则事件
A
的频率为
18 0.9
20 =
，所以事件
A
的概率的估计值为
0.9
． ............................. 8分
设事件
i
B=
“甲第
i
次投进”，
1, 2 , 3i=
，则
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
A B B B B B B B B B B B B= + + +
因为
1 2 3
( ) ( ) ( ) 0.7P B P B P B= = =
，
1 2 3
( ) ( ) ( ) 0.3P B P B P B= = =
.
又因为每次投篮结果互不影响，所以
1
B
，
2
B
与
3
B
相互独立，
1
B
，
2
B
与
3
B
相互独立，
1
B
，
2
B
与
3
B
相互独立，
1
B
，
2
B
与
3
B
相互独立且
1 2 3
B B B
，
1 2 3
B B B
，
1 2 3
B B B
，
1 2 3
B B B
两两互斥，........................................................................................................................ 10 分
所以
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( )P A P B B B B B B B B B B B B= + + +
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )P B B B P B B B P B B B P B B B= + + +
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B= + + +
0.7 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7=   + +   +  
0.784=
.. 13 分
所以事件
A
的概率的估计值和
()PA
有差异．原因如下：
{#{QQABDY6QoggAApAAAQgCAQEICEMQkBEAAYgGhBAMsAIAgRFABAA=}#}
高一数学试题答案 第3页（共 8页）
①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异；
②重复试验次数为 20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. ......... 15 分
17．本题考查三角形边角关系，正余弦定理等基本知识；考查推理论证、运算求解等能力，
考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分 15 分．
解：解法一：（1）依题
sin 3 cos 3a C a C b+=
，由正弦定理
sin sin sin
a b c
A B C
==
，
得
sin sin 3 sin cos 3 sinA C A C B+=
， ...................................................................... 1分
由
πA B C+ + =
，得
( )
sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = +
，代入得
sin sin 3 sin cos 3 sin cos 3 cos sinA C A C A C A C+ = +
， ...................................... 2分
即
sin sin 3 cos sinA C A C=
， ........................................................................................ 3分
由
sin 0C
，得
sin 3 cosAA=
， .................................................................................. 4分
得
tan 3A=
，................................................................................................................... 5分
由
π
0, 2
A


，得
π
3
A=
． ................................................................................................ 6分
（2）如图，由
O
为锐角三角形
ABC
的垂心，有
BO AC⊥
，垂足为
E
，
CO AB⊥
，垂
足为
F
，即
π
2
AFO AEO =  =
.
由
π
3
A=
，四边形
FOEA
内角和为
2π
，得
2π
3
FOE BOC = = 
. ............................. 8分
设
BO m=
，
CO n=
，
在
BOC△
中，由余弦定理
2 2 2 2π
2 cos 3
a m n mn= + −
，
得
22 3m n mn+ + =
，即
( )
23m n mn+ − =
， ................................................................ 10 分
由
2
mn mn
+
，得
( )
2
4
mn
mn +
，当且仅当
mn=
时，等号成立. ....................... 11 分
( ) ( )
2
234
mn
mn +
+ − 
，得
02mn + 
..................................................................... 13 分
当
1mn==
时，
mn+
的最大值为
2
............................................................................. 14 分
故
BOC△
周长的最大值为
1 1 3 2 3+ + = +
. ............................................................. 15 分
解法二：（1）同解法一；
（2）由
O
为锐角三角形
ABC
的垂心，有
BO AC⊥
，垂足为
E
，
CO AB⊥
，垂足为
F
，
即
π
2
AFO AEO =  =
.
由
π
3
A=
，四边形
FOEA
内角和为
2π
，得
2π
3
FOE BOC = = 
. ............................. 8分
设
OCB
=
，
π
0, 3



，则
π
3
OBC
= −
，
在
BOC△
中，由正弦定理
32
2π
π
sin sin sin
sin 3
3
OB OC BC
BOC
= = = =

−


................. 10 分
则
2sinOB
=
，
π
2sin 3
OC

=−


，
π
2sin 2sin 3
OB OC


+ = + −


， ............................................................................... 11 分
{#{QQABDY6QoggAApAAAQgCAQEICEMQkBEAAYgGhBAMsAIAgRFABAA=}#}
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