福建省南平高级中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

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2023-2024 学年福建省南平高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数
z=m+1+(m−1)i(m∈Z)
对应的点在第四象限，则 m的值为()
A.
−1
B.0 C.1 D.
±1
2.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，
∠ABC
等于()
A.
45∘
B.
60∘
C.
90∘
D.
3.若
¿a
⃗
+b
⃗
∨¿∨a
⃗
− b
⃗
∨, a
⃗
=(1,2),b
⃗
=(m, 3)
，则实数
m=¿
()
A.6 B.
−6
C.3 D.
−3
4.在
△ABC
中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，
c .
已知
，则此三角形()
A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不确定
5.在菱形 ABCD 中，若
¿AB
⃗
− AD
⃗
∨¿∨AB
⃗
∨¿
且
AD
⃗
在
AB
⃗
上的投影向量为
λ AB
⃗
，则
λ=¿
()
A.
−1
2
B.
1
2
C.
−
√
2
2
D.
√
2
2
6.平面
α
与平面
β
平行的充分条件可以是()
A.
α
内有无穷多条直线都与
β
平行
B.直线
a/¿α
，
a/¿β
，且
a⊄α
，
a⊄β
C.
α
内的任何一条直线都与
β
平行
D.直线
a⊂α
，直线
b⊂β
，且
a/¿β
，
b/¿α
7.已知 a，b，c分别为
△ABC
三个内角 A，B，C的对边，且
acos C+
√
3asin C=b
，则
A=¿
()
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
8.在
△ABC
中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若
5 cos B − 8 cos C
8c − 5b=cos A
a
，又
△ABC
的面积
S=10
√
3
，且
B+C=2A
，则
AB
⃗
⋅BC
⃗
+BC
⃗
⋅CA
⃗
+CA
⃗
⋅AB
⃗
=¿
()
A.64 B.84 C.
−69
D.
−89
二、多选题：本题共 3小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，
部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.在
△ABC
中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，下列等式中一定成立的是()
A.
acos B=bcos A
B.
acos B+bcos A=c
C.
2 sin Asin Bcos C=sin2A+sin2B− sin2C
D.
cos Bcos A+cos C=ab
10.已知点 M是
△ABC
的重心，点
A(1,2)
，
B(2,3)
，
C(−2,5)
，点 D是BC 上靠近点 B的三等分点，则
()
A.
M(1
3,10
3)
B.
D(2
3,11
3)
C.
⟨MD
⃗
, AC
⃗
⟩=π
3
D.
¿3MD
⃗
− AC
⃗
∨¿2
√
6
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围
成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三
条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、
六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知
AB=1
，则关于图中的半正多面
体，下列说法正确的有()
A.该半正多面体的体积为
5
√
2
3
B.该半正多面体过 A，B，C三点的截面面积为
3
√
3
2
C.该半正多面体外接球的表面积为
8π
D.该半正多面体的表面积为
6+2
√
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.如图是梯形 ABCD 按照斜二测画出的直观图
A ′ B′ C ′ D ′
，其中
A ′ D ′=2
，
B′ C ′=4
，
A ′ B′=1
，则原梯形 ABCD 的面积为______.
13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为 r的半圆，且该圆锥的体积为
3π
，则
r=¿
______.
14.如图，在三棱柱
ABC − A1B1C1
中，
AB=2
√
3
，
AC=3CF
，
△A A1B
与
△A1B1B
为正三角形，动
点Q为侧面四边形
AB B1A1
内一点，若
B1C/¿
平面
A1QF
，则动点 Q运动轨迹长度为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
¿
本小题 13 分
¿
已知复数
z1=1+i
，
z=(m2+m−6)+(m2−3m+2)i(m∈R).
(1)
当m取何值时，z为纯虚数？
(2)
当
m=3
时，求
¿z⋅z1∨¿
的值.
16.
¿
本小题 15 分
¿
如图，在
△ABC
中，D是AB 的中点，
BE
⃗
=1
3BC
⃗
.
(1)
若
AC=2BC=2
，
∠ACB=60∘
，求
¿CD
⃗
∨¿
；
(2)
若
CO
⃗
=λ CD
⃗
，求
λ
的值.
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