高二数学一隅三反系列6.2.2 组合及组合数（精讲）（解析版）

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6.2.2 组合及组合数（精讲）
考法一 组合的概念
思维导图
常见考法
1
【例 1】（2020·广东湛江高二单元测试）给出下列问题：
① 有 10 个车站，共需要准备多少种车票？
② 有 10 个车站，共有多少中不同的票价？
③ 平面内有 10 个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④ 有 10 个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤ 从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？
以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).
【答案】②④
【解析】①有 10 个车站，共需要准备多少种车票？相当于从 10 个不同元素任取 2 个按一定顺序排列起来，
属于排列问题；②有 10 个车站，共有多少中不同的票价？相当于从 10 个不同元素任取 2 个并成一组，属
于组合问题；③平面内有 10 个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从 10 个不同元素任取 2 个按
一定顺序排列起来，属于排列问题；④有 10 个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当
于从 10 个不同元素任取 2 个并成一组，属于组合问题；⑤从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞
赛，有多少中选派方法？相当于从 10 个不同元素任取 2 个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题
中，属于排列问题的是②④.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲 乙两位同学安排为同桌､
C．在电视节目中，主持人从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星
D．从 13 位司机中任选出两位分别去往甲 乙两地､
【答案】C
【解析】只有从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.
2．（2020·全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（ ）
① 从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地；
② 从 10 个人中选 2 人去扫地；
③ 从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队；
④ 从数字 5，6，7，8 中任取两个不同的数作为 中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
【答案】A
2
【解析】排列的概念：从 个元素中取 个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，由此可判断出：①④是排列问题，故选：
A.
考法二 组合数
【例 2】（1）（2020·广东云浮·高二期末） （ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·湖北高二期末）满足条件 的自然数 有（ ）
A．7 个 B．6 个 C．5 个 D．4 个
【答案】（1）D（2）C
【解析】（2） ．故选：D.
（2）由 得 ，即 ，
又 ，且 ，所以 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·陕西高二期末）若 ，则
n
等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】根据题意， 变形可得， ；
由组合性质可得， ，即 ，则可得到 .故选：B.
2．（2020·林芝市第二高级中学高二期中）已知 ，那么 （ ）
A．20 B．30 C．42 D．72
组合数的两个性质：（1） ；（2） ．
3
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