高二数学新教材知识讲学专题五 用空间向量研究距离、夹角问题 知识精讲 （原卷版）

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专题五 用空间向量研究距离、夹角问题
一 知识结构图
内 容 考点 关注点
用空间向量研究距离、夹角
问题
用向量法求线线、线面、面面的
夹角
求夹角
用向量法求线线、线面、面面之
间的距离
求距离
二.学法指导
1．向量法求空间角的一般步骤
(1)向量表示
法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．
求出直线 a、b的方向向量 a、b，平面 α、β的法向量 m、n.
(2)向量运算
① 求直线 a、b所成的角，计算 cos〈a，b〉；
② 求直线 a与平面 α所成的角，计算 cos〈a，m〉；
③ 求两个平面的夹角的大小，计算 cos〈m，n〉．
(3)解释结论
① 由于直线 a、b所成角 θ∈，故 cos θ＝|cos〈a，b〉|.
② 直线 a与平面 α所成角 θ∈，由图形知〈a，m〉与 θ的余角相等或互补，故 sin θ＝|
cos〈a，b〉|.
③ 两个平面的夹角为不大于直角的角，范围 θ∈，故 cos θ＝|cos〈m，n〉|.
2．向量法求空间中的距离
(1)点A，B间的距离．
d＝|AB|
1
(2)点A到直线 a的距离
d＝，其中 B∈a，a是直线 a的方向向量．
(3)点A到平面 α的距离．
d＝，其中 B∈α，n是平面 α的法向量．
三.知识点贯通
知识点 1 距离问题
空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点距 设A、B为空间中的任意两点，则 d＝| AB |
点线距 设直线 l的单位方向向量为 u，A∈l，P∉l，设AP＝a，则点 P到直线 l的距离 d
＝
点面距 已知平面 α的法向量为 n，A∈α，P∉α，则点 P到平面 α的距离为 d＝
例题 1.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为 2的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面
BCD，AB＝2.求点 A到平面 MBC 的距离．
2
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